Mostre que, usando o princípio da indução:
Se
e
. Escreva e prove a fórmula do bonòmio de Newton, por indução sobre
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução sobre
, que para quaisquer
vale a fórmula do binômio de Newton:
O que precisamos:
- Verificar o caso base
. - Supondo válido para
, mostrar a igualdade para . - Usar a identidade de Pascal
Passo 2
Caso base
:
e, por definição,
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
já tenhamos
Queremos provar que
Começamos escrevendo
Distribuindo:
Passo 4
Reindexando o segundo somatório (trocar
) e juntando termos com mesma potência de
, obtemos para
:
Também conferimos os termos das bordas
e
coincidem com
e
. Assim chega-se exatamente a
Isto completa o passo de indução.
Resposta
Para todo
e
vale