Mostre que, usando o princípio da indução:
Se x, y in Z e n in N. Escreva e prove a fórmula do bonòmio de Newton, por indução sobre n.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução sobre ninN, que para quaisquer x,yinZ vale a fórmula do binômio de Newton:
(x+y)^n ;=;sumk=0^nbinomnk,x^,n-ky^,k
O que precisamos:
  1. Verificar o caso base n=0.
  2. Supondo válido para n, mostrar a igualdade para n+1.
  3. Usar a identidade de Pascal
binomnk-1+binomnk=binomn+1k

Passo 2

Caso base n=0:
(x+y)^0 = 1
e, por definição,
sumk=0^0 binom0k,x^0-ky^k = binom00,x^0y^0 = 1
Logo a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n>=0 já tenhamos
(x+y)^n = sumk=0^nbinomnk,x^,n-ky^,k
Queremos provar que
(x+y)^n+1 = sumk=0^n+1binomn+1k,x^,n+1-ky^,k
Começamos escrevendo
(x+y)^n+1 = (x+y),(x+y)^n = (x+y),sumk=0^nbinomnk,x^,n-ky^,k
Distribuindo:
(x+y)^n+1 = sumk=0^nbinomnk,x^,n-k+1y^,k +sumk=0^nbinomnk,x^,n-ky^,k+1

Passo 4

Reindexando o segundo somatório (trocar kto k-1) e juntando termos com mesma potência de y^k, obtemos para 1<= k<= n:
binomnk,x^,n+1-ky^,k +binomnk-1,x^,n+1-ky^,k = l(binomnk-1+binomnkr)x^,n+1-ky^,k = binomn+1kx^,n+1-ky^,k
Também conferimos os termos das bordas k=0 e k=n+1 coincidem com binomn+10x^n+1 e binomn+1n+1y^n+1. Assim chega-se exatamente a
(x+y)^n+1 = sumk=0^n+1binomn+1k,x^,n+1-ky^,k
Isto completa o passo de indução.

Resposta

Para todo ninN e x,yinZ vale
(x+y)^n = sumk=0^nbinomnk,x^,n-ky^,k

Exercícios relacionados