Enuncie e demonstre o Algoritmo da Divisão em
.
Passo 1
O objetivo é enunciar e demonstrar o Algoritmo da Divisão em
. Estamos na teoria dos números inteiros e vamos usar o princípio da boa ordenação de
. O teorema afirma que, dado um inteiro dividendo e um divisor positivo, existe e é único o quociente e o resto.
Passo 2
Demonstração da existência de quociente e resto.
Sejam e
com
. Considere o conjunto
Sejam
Como podemos escolher
muito negativo, existe algum
tal que
seja não negativo, logo
. Pelo princípio da boa ordenação,
tem menor elemento; chame-o de
. Então há
com
Só falta mostrar que
. Se fosse
, então
pertenceria a
, mas
, contradizendo a minimalidade de
. Logo necessariamente
.
Passo 3
Demonstração da unicidade de quociente e resto.
Suponha que existam e
tais que
Suponha que existam
Subtraindo as igualdades:
O lado direito satisfaz
, mas
divide
. A única possibilidade é
, isto é,
. Daí
e como
segue
. Portanto
é único.
Resposta
Para quaisquer inteiros
e
com
, existem únicos inteiros
e
tais que