Mostre, usando o princípio de indução, que:
2 n^3>3 n^2+3 n+1, forall n >= 4

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que para todo inteiro n ≥ 4 vale a desigualdade 2n^3 > 3n^2 + 3n + 1. Vamos precisar conhecer os passos padrão de uma prova por indução: base (caso inicial) e passo indutivo (hipótese e demonstração para n+1).

Passo 2

Verificamos a base da indução em n = 4. Calculando os dois lados: 2·4^3 = 2·64 = 128 e 3·4^2 + 3·4 + 1 = 48 + 12 + 1 = 61. Como 128 > 61, a propriedade é verdadeira para n = 4.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que a desigualdade seja válida para algum inteiro k ≥ 4, ou seja,
2k^3 > 3k^2 + 3k + 1

Passo 4

Passo indutivo: precisamos mostrar que então
2(k+1)^3 > 3(k+1)^2 + 3(k+1) + 1

Passo 5

Expandindo o lado esquerdo e o direito temos:
2(k+1)^3 = 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = 2k^3 + 6k^2 + 6k + 2,
3(k+1)^2 + 3(k+1) + 1 = 3(k^2+2k+1) + 3k + 3 + 1 = 3k^2 + 9k + 7

Passo 6

Então queremos provar que
2k^3 + 6k^2 + 6k + 2 > 3k^2 + 9k + 7

Passo 7

Reescrevendo a diferença e usando a hipótese de indução:
2k^3 + 6k^2 + 6k + 2 - (3k^2 + 9k + 7) = 2k^3 + 3k^2 -3k -5

Passo 8

Pela hipótese, 2k^3 > 3k^2 + 3k + 1. Somando 3k^2 -6k -6 aos dois lados obtemos
2k^3 + 3k^2 -3k -5 > (3k^2 + 3k +1) + (3k^2 -6k -6) = 6k^2 -4

Passo 9

E para k ≥ 4, 6k^2 -4 ≥ 6·4^2 -4 = 6·16 -4 = 96 -4 = 92 > 0. Logo
2k^3 + 3k^2 -3k -5 > 0,
o que fecha o passo indutivo.

Passo 10

Pela base já verificada e pelo passo indutivo concluímos que a desigualdade vale para todo n ≥ 4.

Resposta

Para todo inteiro n ≥ 4, temos 2n^3 > 3n^2 + 3n + 1.

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