Mostre, usando o princípio de indução, que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que para todo inteiro n ≥ 4 vale a desigualdade
. Vamos precisar conhecer os passos padrão de uma prova por indução: base (caso inicial) e passo indutivo (hipótese e demonstração para n+1).
Passo 2
Verificamos a base da indução em n = 4. Calculando os dois lados:
e
. Como
, a propriedade é verdadeira para n = 4.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que a desigualdade seja válida para algum inteiro k ≥ 4, ou seja,
Passo 4
Passo indutivo: precisamos mostrar que então
Passo 5
Expandindo o lado esquerdo e o direito temos:
Passo 6
Então queremos provar que
Passo 7
Reescrevendo a diferença e usando a hipótese de indução:
Passo 8
Pela hipótese,
. Somando
aos dois lados obtemos
Passo 9
E para k ≥ 4,
. Logo
o que fecha o passo indutivo.
Passo 10
Pela base já verificada e pelo passo indutivo concluímos que a desigualdade vale para todo n ≥ 4.
Resposta
Para todo inteiro n ≥ 4, temos 2n^3 > 3n^2 + 3n + 1.