Mostre, usando o princípio de indução, que:
n ! >2^n, forall n >= 4

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o princípio da indução, que n! > 2^n para todo n >= 4. O conteúdo é indução matemática, e vamos precisar da definição de fatorial e de potências de 2.

Passo 2

Base case: para n=4 temos 4! = 24 e 2^4 = 16. Como 24 > 16, a propriedade vale em n=4.

Passo 3

Inductive step: suponha que para algum k >= 4 valha k! > 2^k (hipótese de indução). Então
(k+1)! = (k+1)cdot k! > (k+1)cdot 2^k

Passo 4

Como k+1 >= 5 > 2, segue
(k+1)cdot 2^k >= 2cdot 2^k = 2^k+1,

Passo 5

logo (k+1)! > 2^k+1. Isso fecha o passo indutivo.

Passo 6

Pelo princípio de indução matemática, a desigualdade n! > 2^n vale para todo n >= 4.

Resposta

Portanto, por indução, concluímos que n! > 2^n para todo n >= 4.

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