Mostre, usando o princípio de indução, que:
é múltiplo de 3 para todo
ímpar.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando o princípio de indução, que
é múltiplo de 3 para todo número
ímpar. A matéria envolvida aqui é matemática discreta, mais especificamente indução matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la a essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que um número é múltiplo de 3. Se
é múltiplo de 3, isso quer dizer que, quando dividimos
por 3, o resto é 0. Em outras palavras,
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o princípio de indução matemática. Esse método é usado para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Ele tem dois passos principais:
- Base da Indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor da sequência (geralmente
ou outro valor inicial). - Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum
qualquer e, então, provar que ela é verdadeira para .
Passo 4
Vamos começar com a Base da Indução, verificando se a afirmação é verdadeira para
, que é ímpar.
Calculando:
E 3 é múltiplo de 3, então a base da indução está confirmada.
Passo 5
Agora, vamos para o Passo Indutivo. Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum
, ou seja, assumimos que:
Isso significa que
é múltiplo de 3.
Passo 6
Precisamos provar que a afirmação também é verdadeira para
(porque estamos lidando com números ímpares, o próximo ímpar após
ímpar é
).
Calculando:
Passo 7
Vamos simplificar
. Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 8
Agora, observando nossa suposição inicial, sabemos que
é múltiplo de 3. Vamos reescrever a expressão:
Como
claramente é múltiplo de 3, e pela nossa suposição
também é múltiplo de 3, a soma deles será múltiplo de 3.
Passo 9
Portanto,
é múltiplo de 3, o que completa o passo indutivo.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que
é múltiplo de 3 para todo número
ímpar.