Mostre, usando o princípio de indução, que:
2^n+1 é múltiplo de 3 para todo n ímpar.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando o princípio de indução, que 2^n + 1 é múltiplo de 3 para todo número n ímpar. A matéria envolvida aqui é matemática discreta, mais especificamente indução matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la a essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que um número é múltiplo de 3. Se 2^n + 1 é múltiplo de 3, isso quer dizer que, quando dividimos 2^n + 1 por 3, o resto é 0. Em outras palavras, 2^n + 1 equiv 0 mod 3.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o princípio de indução matemática. Esse método é usado para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Ele tem dois passos principais:
  1. Base da Indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor da sequência (geralmente n = 1 ou outro valor inicial).
  2. Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum k qualquer e, então, provar que ela é verdadeira para k + 1.

Passo 4

Vamos começar com a Base da Indução, verificando se a afirmação é verdadeira para n = 1, que é ímpar.
Calculando:
2^1 + 1 = 2 + 1 = 3
E 3 é múltiplo de 3, então a base da indução está confirmada.

Passo 5

Agora, vamos para o Passo Indutivo. Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum n = k, ou seja, assumimos que:
2^k + 1 equiv 0 mod 3
Isso significa que 2^k + 1 é múltiplo de 3.

Passo 6

Precisamos provar que a afirmação também é verdadeira para n = k + 2 (porque estamos lidando com números ímpares, o próximo ímpar após k ímpar é k + 2).
Calculando:
2^k + 2 + 1 = 2^k cdot 2^2 + 1 = 4 cdot 2^k + 1

Passo 7

Vamos simplificar 4 cdot 2^k. Sabemos que 4 = 3 + 1, então:
4 cdot 2^k = (3 + 1) cdot 2^k = 3 cdot 2^k + 2^k
Portanto:
2^k + 2 + 1 = 3 cdot 2^k + 2^k + 1

Passo 8

Agora, observando nossa suposição inicial, sabemos que 2^k + 1 é múltiplo de 3. Vamos reescrever a expressão:
2^k + 2 + 1 = 3 cdot 2^k + (2^k + 1)
Como 3 cdot 2^k claramente é múltiplo de 3, e pela nossa suposição 2^k + 1 também é múltiplo de 3, a soma deles será múltiplo de 3.

Passo 9

Portanto, 2^k + 2 + 1 é múltiplo de 3, o que completa o passo indutivo.

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que 2^n + 1 é múltiplo de 3 para todo número n ímpar.

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