2 (valor 4,0 pontos) Considere a função
definida por:
(a) Verifique se
é contínua em ( 0,0 ). Justifique sua resposta;
(b) Calcule as derivadas parciais primeitas
e
em
;
© A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
(b) Calcule as derivadas parciais primeitas
© A função
Passo 1
O enunciado pede para verificar continuidade, calcular derivadas parciais em (0,0) e testar diferenciabilidade de uma função de duas variáveis definida por partes. O conteúdo envolvido é limite em ℝ², derivada parcial pelo limite da razão incremental e definição de diferenciabilidade via aproximação linear.
Passo 2
Para (x,y)≠(0,0) podemos simplificar a expressão:
ou seja, fora da origem a função se comporta como o polinômio
.
Passo 3
Para testar continuidade em (0,0) vamos ver o limite de
quando
. Usando a forma simplificada, temos
onde
. Como
quando
, segue que
. Logo,
é contínua em
.
Passo 4
Para calcular a derivada parcial em
em
usamos
Como
e
, temos
Passo 5
De modo análogo, para a derivada parcial em
,
Na forma simplificada
, então
Passo 6
Para ver se
é diferenciável em
com diferencial
, checamos
Como esse quociente tende a zero, a aproximação linear é válida e
é diferenciável em
.
Resposta
f é contínua em (0,0); f_x(0,0)=0; f_y(0,0)=0; e f é diferenciável em (0,0).