2 (valor 4,0 pontos) Considere a função f definida por:
f(x, y)=ll 2 x^3 y^4x^2, se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) Verifique se f é contínua em ( 0,0 ). Justifique sua resposta;
(b) Calcule as derivadas parciais primeitas fn e fv em (0,0);
© A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar continuidade, calcular derivadas parciais em (0,0) e testar diferenciabilidade de uma função de duas variáveis definida por partes. O conteúdo envolvido é limite em ℝ², derivada parcial pelo limite da razão incremental e definição de diferenciabilidade via aproximação linear.

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0) podemos simplificar a expressão:
f(x,y)=2x^3y^4x^2=2x,y^4,
ou seja, fora da origem a função se comporta como o polinômio 2x,y^4.

Passo 3

Para testar continuidade em (0,0) vamos ver o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0). Usando a forma simplificada, temos
|f(x,y)|=|2x,y^4|=2|x|,|y|^4<=2,r,r^4=2,r^5,
onde r=raizx^2+y^2. Como 2r^5to0 quando rto0, segue que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0). Logo, f é contínua em (0,0).

Passo 4

Para calcular a derivada parcial em x em (0,0) usamos
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como f(h,0)=2hcdot0^4=0 e f(0,0)=0, temos
fx(0,0)=limhto00-0h=0

Passo 5

De modo análogo, para a derivada parcial em y,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k
Na forma simplificada f(0,k)=2cdot0,k^4=0, então
fy(0,0)=limkto00-0k=0

Passo 6

Para ver se f é diferenciável em (0,0) com diferencial L(x,y)=0cdot x+0cdot y, checamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=lim(x,y)to(0,0)2x,y^4r=limrto02r^4cdotxr<=2r^4to0
Como esse quociente tende a zero, a aproximação linear é válida e f é diferenciável em (0,0).

Resposta

f é contínua em (0,0); f_x(0,0)=0; f_y(0,0)=0; e f é diferenciável em (0,0).

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