Note que x = \pm |x|\], ou seja, \(x difere de |x| apenas por sinal.
Passo 3
Provar que a divisibilidade não muda quando se troca x por |x|. Em outras palavras, para todo inteiro d e todo inteiro x vale:
d\mid x \quad\Longleftrightarrow\quad d\mid |x|.
Prova direta:
Se d\mid x, então existe k\in\mathbb{Z} com x=d k. Tomando módulo dos dois lados temos |x| = |d k| = |d|\cdot |k|. Como estamos interessados em divisores inteiros positivos, podemos considerar d ou |d|; em particular existe um inteiro |k| tal que |x| = d\cdot |k| se d\ge0 (ou usando |d| no lugar de d se preciso). Logo d\mid |x|.
Se d\mid |x|, então existe k\in\mathbb{Z} com |x|=d k. Como x=\pm |x| segue x = d(\pm k), isto é, d\mid x.
Portanto a relação d\mid x é equivalente a d\mid |x|.
Passo 4
Usando o que mostramos no passo anterior, os divisores comuns de a e b coincidem exatamente com os divisores comuns de |a| e |b|. Formalmente:
Explicação informal: qualquer d que divide a e b divide também |a| e |b| (pela equivalência do passo 3) e vice‑versa.
Passo 5
Relembrando a definição de \operatorname{mdc} que vamos usar: \operatorname{mdc}(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b. Mais formalmente, é o maior elemento (no sentido usual de ordem entre inteiros positivos) do conjunto de divisores comuns de a e b. Por essa definição, o \operatorname{mdc} é único.
Passo 6
Agora a conclusão lógica: como os conjuntos de divisores comuns de (a,b) e de (|a|,|b|) são iguais (passo 4), o maior elemento desse conjunto é o mesmo em ambas as descrições. Portanto o maior divisor comum de a e b coincide com o maior divisor comum de |a| e |b|. Assim
Pequena ilustração para ficar na cabeça (exemplo):
Tome a=-12 e b=8. Os divisores positivos comuns de -12 e 8 são 1,2,4. Os divisores positivos comuns de |-12|=12 e 8 também são 1,2,4. Então \operatorname{mdc}(-12,8)=4=\operatorname{mdc}(12,8). Isso condiz com a prova geral acima.