Mostre, usando somente a definição de mdc, que
m d c(a, b)=m d c(|a|,|b|)

Passo 1

O que o enunciado pede: provar, usando somente a definição de máximo divisor comum, que
\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(|a|,|b|)
para quaisquer inteiros a e b.
Informações dadas (claras e simples):
  • a e b são inteiros quaisquer (podem ser negativos, zero ou positivos).
  • A prova deve usar apenas a definição de \operatorname{mdc} (ou seja, a noção de divisor e a propriedade de “maior” divisor comum).

Passo 2

Lembrando definições básicas que vamos usar (devemos tratá‑las com calma):
  • Divisibilidade: dizemos que um inteiro d\) divide um inteiro \(x\) (escrevemos \(d\mid x\)) se existe um inteiro \(k\) tal que \[x = d k.
Aqui k é um inteiro qualquer. Por exemplo, 4\mid 12 porque 12 = 4\cdot 3.
  • Valor absoluto: para x\in\mathbb{Z},
|x| = \begin{cases} x & \text{se } x\ge 0,\\\\ -x & \text{se } x<0. \end{cases}
Note que x = \pm |x|\], ou seja, \(x difere de |x| apenas por sinal.

Passo 3

Provar que a divisibilidade não muda quando se troca x por |x|. Em outras palavras, para todo inteiro d e todo inteiro x vale:
d\mid x \quad\Longleftrightarrow\quad d\mid |x|.
Prova direta:
  • Se d\mid x, então existe k\in\mathbb{Z} com x=d k. Tomando módulo dos dois lados temos |x| = |d k| = |d|\cdot |k|. Como estamos interessados em divisores inteiros positivos, podemos considerar d ou |d|; em particular existe um inteiro |k| tal que |x| = d\cdot |k| se d\ge0 (ou usando |d| no lugar de d se preciso). Logo d\mid |x|.
  • Se d\mid |x|, então existe k\in\mathbb{Z} com |x|=d k. Como x=\pm |x| segue x = d(\pm k), isto é, d\mid x.
    Portanto a relação d\mid x é equivalente a d\mid |x|.

Passo 4

Usando o que mostramos no passo anterior, os divisores comuns de a e b coincidem exatamente com os divisores comuns de |a| e |b|. Formalmente:
\{d\in\mathbb{Z}_{>0}\mid d\mid a\\ \text{e}\\ d\mid b\} \;=\; \{d\in\mathbb{Z}_{>0}\mid d\mid |a|\\ \text{e}\\ d\mid |b|\}.
Explicação informal: qualquer d que divide a e b divide também |a| e |b| (pela equivalência do passo 3) e vice‑versa.

Passo 5

Relembrando a definição de \operatorname{mdc} que vamos usar: \operatorname{mdc}(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b. Mais formalmente, é o maior elemento (no sentido usual de ordem entre inteiros positivos) do conjunto de divisores comuns de a e b. Por essa definição, o \operatorname{mdc} é único.

Passo 6

Agora a conclusão lógica: como os conjuntos de divisores comuns de (a,b) e de (|a|,|b|) são iguais (passo 4), o maior elemento desse conjunto é o mesmo em ambas as descrições. Portanto o maior divisor comum de a e b coincide com o maior divisor comum de |a| e |b|. Assim
\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(|a|,|b|).

Passo 7

Pequena ilustração para ficar na cabeça (exemplo):
  • Tome a=-12 e b=8. Os divisores positivos comuns de -12 e 8 são 1,2,4. Os divisores positivos comuns de |-12|=12 e 8 também são 1,2,4. Então \operatorname{mdc}(-12,8)=4=\operatorname{mdc}(12,8). Isso condiz com a prova geral acima.

Resposta

\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(|a|,|b|)

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