Para a não nulo, mostre (usando somente a definição de mdc) que
m d c(a, 0)=m d c(a, a)=|a| \text { e } m d c(a, 1)=1 .

Passo 1

O enunciado pede que, para a não nulo, se mostre (usando apenas a definição de mdc) que
\mathrm{mdc}(a,0)=\mathrm{mdc}(a,a)=|a| \qquad\text{e}\qquad \mathrm{mdc}(a,1)=1.
Informações dadas e convenções que vamos usar:
  • a é um inteiro e a\neq0.
  • A notação \mathrm{mdc}(x,y) indica o máximo divisor comum de x e y.
  • Vamos usar apenas a definição de \mathrm{mdc}: um inteiro positivo g é \mathrm{mdc}(x,y) quando
    1. g divide x e g divide y (ou seja, g\mid x e g\mid y); e
    2. para todo inteiro d tal que d\mid x e d\mid y, temos d\mid g (ou seja, g é “máximo” no sentido da divisibilidade).
  • Lembrete de divisibilidade: dizer d\mid n significa que existe um inteiro k com n = d\cdot k. Em particular, qualquer inteiro divide 0 porque 0 = d\cdot 0.

Passo 2

Breve aulazinha sobre as ideias que vou usar (tudo bem explícito e sem pular etapas).
  • O objetivo é verificar para cada par (x,y) que um certo número positivo g satisfaz as duas condições da definição de \mathrm{mdc} listadas acima.
  • Quando eu disser “todo divisor comum” quero dizer "todo inteiro positivo d tal que d\mid x e d\mid y".
  • Observação útil e simples: se d\mid a então d\mid |a|, porque |a|=\pm a e divisibilidade por d passa a \pm a.
  • Exemplo concreto para fixar a intuição: os divisores positivos de 6 são 1,2,3,6; dentre eles o maior (no sentido de divisibilidade) é 6, que é |6|.

Passo 3

Prova de \mathrm{mdc}(a,0)=|a|.
  1. Primeiro mostro que |a| é um divisor comum de a e 0.
    • Claramente |a|\mid a porque a=\operatorname{sgn}(a)\cdot|a| (ou seja, a=\pm|a|).
    • E |a|\mid 0 porque sempre n\mid 0 para todo inteiro n (pois 0 = n\cdot 0).
    • Logo |a| satisfaz a condição (1) da definição de \mathrm{mdc} para o par (a,0).
  2. Agora mostro a condição de maximalidade: qualquer divisor comum positivo d de a e 0 divide |a|.
    • Se d\mid a e d\mid 0, então em particular d\mid a.
    • Como observação anterior, d\mid a implica d\mid |a|.
    • Portanto todo divisor comum d de a e 0 divide |a|.
  3. Conclusão: |a| é um divisor comum que é divisível por qualquer outro divisor comum, logo, por definição, |a|=\mathrm{mdc}(a,0).

Passo 4

Prova de \mathrm{mdc}(a,a)=|a|.
  1. Verifico que |a| é um divisor comum de a e a.
    • Obviamente |a|\mid a e |a|\mid a (mesma razão do passo anterior).
  2. Mostro maximalidade: se d é um divisor comum positivo de a e a, então d\mid a, portanto d\mid |a|.
    • A hipótese d\mid a já é suficiente para concluir d\mid |a|.
  3. Conclusão: |a| satisfaz as duas condições da definição, então |a|=\mathrm{mdc}(a,a).

Passo 5

Prova de \mathrm{mdc}(a,1)=1.
  1. Primeiro vejam que 1 é um divisor comum de a e 1.
    • 1\mid a porque a = 1\cdot a.
    • 1\mid 1 porque 1 = 1\cdot 1.
    • Assim 1 satisfaz a condição (1) da definição.
  2. Agora a maximalidade: qualquer divisor comum positivo d de a e 1 divide 1.
    • Se d\mid 1, então d só pode ser 1, pois os únicos divisores inteiros de 1 são 1 e -1; entre os positivos, apenas 1.
    • Logo todo divisor comum positivo d é 1, e portanto divide 1.
  3. Conclusão: 1 é o máximo divisor comum de a e 1, logo \mathrm{mdc}(a,1)=1.

Passo 6

Pequeno comentário final (de amigo): acabamos de usar só a definição de \mathrm{mdc} e a noção básica de divisibilidade. O raciocínio é curto: quando o segundo argumento é 0 ou igual ao primeiro, os divisores comuns coincidem com os divisores de a, cujo maior (positivo) é |a|; quando o segundo argumento é 1, o único divisor positivo comum possível é 1.

Resposta

\mathrm{mdc}(a,0)=|a|
\mathrm{mdc}(a,a)=|a|
\mathrm{mdc}(a,1)=1

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