Para
não nulo, mostre (usando somente a definição de mdc) que
Passo 1
O enunciado pede que, para
não nulo, se mostre (usando apenas a definição de mdc) que
Informações dadas e convenções que vamos usar:
-
é um inteiro e . - A notação
indica o máximo divisor comum de e . - Vamos usar apenas a definição de
: um inteiro positivo é quando -
divide e divide (ou seja, e ); e - para todo inteiro
tal que e , temos (ou seja, é “máximo” no sentido da divisibilidade).
-
- Lembrete de divisibilidade: dizer
significa que existe um inteiro com . Em particular, qualquer inteiro divide porque .
Passo 2
Breve aulazinha sobre as ideias que vou usar (tudo bem explícito e sem pular etapas).
- O objetivo é verificar para cada par
que um certo número positivo satisfaz as duas condições da definição de listadas acima. - Quando eu disser “todo divisor comum” quero dizer "todo inteiro positivo
tal que e ". - Observação útil e simples: se
então , porque e divisibilidade por passa a . - Exemplo concreto para fixar a intuição: os divisores positivos de
são ; dentre eles o maior (no sentido de divisibilidade) é , que é .
Passo 3
Prova de
.
- Primeiro mostro que
é um divisor comum de e . - Claramente
porque (ou seja, ). - E
porque sempre para todo inteiro (pois ). - Logo
satisfaz a condição (1) da definição de para o par .
- Claramente
- Agora mostro a condição de maximalidade: qualquer divisor comum positivo
de e divide . - Se
e , então em particular . - Como observação anterior,
implica . - Portanto todo divisor comum
de e divide .
- Se
- Conclusão:
é um divisor comum que é divisível por qualquer outro divisor comum, logo, por definição, .
Passo 4
Prova de
.
- Verifico que
é um divisor comum de e . - Obviamente
e (mesma razão do passo anterior).
- Obviamente
- Mostro maximalidade: se
é um divisor comum positivo de e , então , portanto . - A hipótese
já é suficiente para concluir .
- A hipótese
- Conclusão:
satisfaz as duas condições da definição, então .
Passo 5
Prova de
.
- Primeiro vejam que
é um divisor comum de e . -
porque . -
porque . - Assim
satisfaz a condição (1) da definição.
-
- Agora a maximalidade: qualquer divisor comum positivo
de e divide . - Se
, então só pode ser , pois os únicos divisores inteiros de são e ; entre os positivos, apenas . - Logo todo divisor comum positivo
é , e portanto divide .
- Se
- Conclusão:
é o máximo divisor comum de e , logo .
Passo 6
Pequeno comentário final (de amigo): acabamos de usar só a definição de
e a noção básica de divisibilidade. O raciocínio é curto: quando o segundo argumento é
ou igual ao primeiro, os divisores comuns coincidem com os divisores de
, cujo maior (positivo) é
; quando o segundo argumento é
, o único divisor positivo comum possível é
.