Sejam
e
dois números inteiros tais que
. Prove que
possui mais do que 2 divisores positivos.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números inteiros tais que
A pergunta implícita é: provar que
possui mais do que 2 divisores positivos. Vou listar as informações relevantes:
- A igualdade inteira
está dada. - Os números
e aparecem como coeficientes; é útil conhecer a relação entre eles (por exemplo, seu máximo divisor comum). - O objetivo final é uma afirmação sobre o número de divisores positivos de
.
Passo 2
Vou estudar a relação entre
e
. Primeiro mostro que
.
Explicação do conceito usado:
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Se um número primo divide
mas não divide
, então ele não contribui para o
.
Cálculo direto:
. O número
é primo (podemos checar divisibilidade por primos até
; os primos possíveis são
e nenhum deles divide
). Logo
não divide
e não compartilha fatores com
. Portanto
Passo 3
Usarei uma propriedade básica de divisibilidade: se
e
divide
, então
divide
. Isso decorre do fato de que, sem fatores comuns entre
e
, todos os fatores de
que aparecem em
devem vir de
.
Aplicando ao nosso caso: da igualdade
vemos que
divide
. Como
, a propriedade acima dá que
divide
. Logo existe um inteiro
tal que
Substituindo em
obtemos
Portanto as soluções inteiras gerais da igualdade são
para algum
.
Passo 4
Calculo agora
em função de
:
Ou seja, para toda solução inteira
da equação dada, tem-se
.
Comentário sobre
:
é um número notável (é
) e é primo. Para confirmar primalidade: verificar divisibilidade por primos até
; os primos até aí são
, e nenhum divide
. Portanto
é primo.
Passo 5
Vamos analisar os divisores positivos de
a partir da forma
.
Conceito usado: se um número
factoriza como
com
primo e
inteiro, então quaisquer divisores positivos de
produzem novos divisores de
(multiplicando-os por
obtemos outros divisores de
). Em particular, se
tiver um divisor
, então
são quatro divisores distintos de
(contando positivos).
Aplicando ao caso:
- Como
é primo, é um divisor fixo de . - Se
(ou seja, se tem algum divisor com ), então os números são quatro divisores positivos distintos de (considerando positivo; se for negativo, os divisores positivos de são os divisores positivos de ). Logo, quando , o número tem pelo menos 4 divisores positivos, em particular mais do que 2. - Se
, então e ; nesse caso a noção de “divisores positivos de 0” é atípica (0 é divisível por todo inteiro), então a afirmação do enunciado não faz sentido nesse caso trivial. Geralmente problemas assim consideram soluções não-triviais . - Se
, então que é primo; portanto tem exatamente dois divisores positivos ( e ). Similarmente, se tem-se e os divisores positivos de (isto é, de ) são apenas e .
Passo 6
Conclusão lógica sobre a afirmação do enunciado:
- Para
com (soluções não-triviais e não-unitárias), tem-se e assim possui mais do que 2 divisores positivos (na verdade pelo menos 4). - Porém existe o caso
(por exemplo ) em que é primo e tem exatamente 2 divisores positivos. Portanto a afirmação “para todo par de inteiros com tem-se que possui mais do que 2 divisores positivos” é falsa em geral; há contraexemplo.
Resposta
A afirmação é falsa. As soluções inteiras são
, logo
. Se
então
tem pelo menos 4 divisores positivos; mas para
(por exemplo
) tem-se
que é primo e tem exatamente 2 divisores positivos.