Sejam a e b dois números inteiros tais que 78 a=179 b. Prove que a+b possui mais do que 2 divisores positivos.

Passo 1

O enunciado dá que a e b são números inteiros tais que
78a = 179b.
A pergunta implícita é: provar que a+b possui mais do que 2 divisores positivos. Vou listar as informações relevantes:
  • A igualdade inteira \,78a=179b está dada.
  • Os números 78 e 179 aparecem como coeficientes; é útil conhecer a relação entre eles (por exemplo, seu máximo divisor comum).
  • O objetivo final é uma afirmação sobre o número de divisores positivos de a+b.

Passo 2

Vou estudar a relação entre 78 e 179. Primeiro mostro que \gcd(78,179)=1.
Explicação do conceito usado: \gcd(x,y) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente x e y. Se um número primo divide y mas não divide x, então ele não contribui para o \gcd.
Cálculo direto: 78=2\cdot3\cdot13. O número 179 é primo (podemos checar divisibilidade por primos até \sqrt{179}\approx13{,}38; os primos possíveis são 2,3,5,7,11,13 e nenhum deles divide 179). Logo 179 não divide 78 e não compartilha fatores com 78. Portanto
\gcd(78,179)=1.

Passo 3

Usarei uma propriedade básica de divisibilidade: se \gcd(m,n)=1 e m divide n\cdot k, então m divide k. Isso decorre do fato de que, sem fatores comuns entre m e n, todos os fatores de m que aparecem em n\cdot k devem vir de k.
Aplicando ao nosso caso: da igualdade 78a=179b vemos que 179 divide 78a. Como \gcd(179,78)=1, a propriedade acima dá que 179 divide a. Logo existe um inteiro t tal que
a = 179t.
Substituindo em 78a=179b obtemos
78\cdot(179t) = 179b \quad\Rightarrow\quad 78t=b.
Portanto as soluções inteiras gerais da igualdade são
a = 179t,\qquad b = 78t,
para algum t\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Calculo agora a+b em função de t:
a+b = 179t + 78t = (179+78)t = 257t.
Ou seja, para toda solução inteira (a,b) da equação dada, tem-se a+b=257t.
Comentário sobre 257: 257 é um número notável (é 2^{8}+1) e é primo. Para confirmar primalidade: verificar divisibilidade por primos até \sqrt{257}\approx16{,}03; os primos até aí são 2,3,5,7,11,13, e nenhum divide 257. Portanto 257 é primo.

Passo 5

Vamos analisar os divisores positivos de a+b a partir da forma a+b=257t.
Conceito usado: se um número N factoriza como N=p\cdot q com p>1 primo e q\ge1 inteiro, então quaisquer divisores positivos de q produzem novos divisores de N (multiplicando-os por p obtemos outros divisores de N). Em particular, se q tiver um divisor d>1, então 1,p,d,pd são quatro divisores distintos de N (contando positivos).
Aplicando ao caso:
  • Como 257 é primo, 257 é um divisor fixo de a+b.
  • Se |t|>1 (ou seja, se t tem algum divisor d com 1<d\le |t|), então os números 1,257,d,257d são quatro divisores positivos distintos de |a+b| (considerando a+b positivo; se a+b for negativo, os divisores positivos de a+b são os divisores positivos de |a+b|). Logo, quando |t|>1, o número a+b tem pelo menos 4 divisores positivos, em particular mais do que 2.
  • Se t=0, então a=b=0 e a+b=0; nesse caso a noção de “divisores positivos de 0” é atípica (0 é divisível por todo inteiro), então a afirmação do enunciado não faz sentido nesse caso trivial. Geralmente problemas assim consideram soluções não-triviais t\neq0.
  • Se t=1, então a+b=257 que é primo; portanto a+b tem exatamente dois divisores positivos ( 1 e 257). Similarmente, se t=-1 tem-se a+b=-257 e os divisores positivos de a+b (isto é, de |a+b|) são apenas 1 e 257.

Passo 6

Conclusão lógica sobre a afirmação do enunciado:
  • Para t\in\mathbb{Z} com |t|>1 (soluções não-triviais e não-unitárias), tem-se a+b=257t e assim a+b possui mais do que 2 divisores positivos (na verdade pelo menos 4).
  • Porém existe o caso t=1 (por exemplo a=179,\;b=78) em que a+b=257 é primo e tem exatamente 2 divisores positivos. Portanto a afirmação “para todo par de inteiros a,b com 78a=179b tem-se que a+b possui mais do que 2 divisores positivos” é falsa em geral; há contraexemplo.

Resposta

A afirmação é falsa. As soluções inteiras são a=179t,\;b=78t, logo a+b=257t. Se |t|>1 então a+b tem pelo menos 4 divisores positivos; mas para t=1 (por exemplo a=179,\;b=78) tem-se a+b=257 que é primo e tem exatamente 2 divisores positivos.

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