Seja n um inteiro positivo. Prove por indução que:
3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1}.

Passo 1

O enunciado pede que se prove, para todo inteiro positivo n, que 3 divide 2^{n}+(-1)^{n+1}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável n é um inteiro positivo.
  • A afirmação a provar é 3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1}, isto é, 2^{n}+(-1)^{n+1} é múltiplo de 3.

Passo 2

Explicação do método de prova por indução (passo-a-passo didático):
  • A prova por indução tem duas etapas fundamentais:
    1. Caso base: verificar que a afirmação é verdadeira para o primeiro valor (aqui n=1).
    2. Passo indutivo: assumir que a afirmação é verdadeira para um n=k arbitrário (hipótese de indução) e então mostrar que isso implica que a afirmação é verdadeira para n=k+1.
  • Razão prática: se o caso base é verdadeiro e de cada k verdadeiro segue k+1 verdadeiro, então todos os n\ge 1 são verdadeiros (como uma fileira de dominós).
    Vou aplicar exatamente essas duas etapas ao problema.

Passo 3

Caso base ( n=1). Calcular explicitamente:
2^{1}+(-1)^{1+1} = 2^{1}+(-1)^{2} = 2 + 1 = 3.
Como 3 é múltiplo de 3, temos 3 \mid 2^{1}+(-1)^{2}. Portanto o caso base é verdadeiro.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para um certo inteiro k\ge 1 vale:
3 \mid 2^{k}+(-1)^{k+1}.
Isto significa que existe um inteiro m tal que
2^{k}+(-1)^{k+1} = 3m.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a afirmação vale para n=k+1. Começamos manipulando 2^{k+1}+(-1)^{k+2}.
Observe que
(-1)^{k+2} = -(-1)^{k+1},
pois multiplicar por (-1) aumenta o expoente em 1 e troca o sinal quando necessário. Então
2^{k+1}+(-1)^{k+2} = 2^{k+1} - (-1)^{k+1}.
Agora reescreve 2^{k+1} como 2\cdot 2^{k} e faça uma reorganização conveniente:
2^{k+1}+(-1)^{k+2} = 2\cdot 2^{k} - (-1)^{k+1}.
Adicione e subtraia 2\cdot(-1)^{k+1} de modo a usar a hipótese de indução:
2\cdot 2^{k} - (-1)^{k+1} = 2\bigl(2^{k}+(-1)^{k+1}\bigr) - 3(-1)^{k+1}.
Verificação rápida desta identidade:
2\bigl(2^{k}+(-1)^{k+1}\bigr) - 3(-1)^{k+1} = 2^{k+1} + 2(-1)^{k+1} - 3(-1)^{k+1} = 2^{k+1} - (-1)^{k+1},
que é justamente 2^{k+1}+(-1)^{k+2}.
Agora use a hipótese de indução 2^{k}+(-1)^{k+1}=3m. Substituindo:
2\bigl(2^{k}+(-1)^{k+1}\bigr) - 3(-1)^{k+1} = 2\cdot(3m) - 3(-1)^{k+1} = 3\bigl(2m - (-1)^{k+1}\bigr).
O termo entre parênteses é inteiro, logo o lado direito é múltiplo de 3. Assim concluímos que 3 divide 2^{k+1}+(-1)^{k+2}. Isso completa o passo indutivo.
Também é útil lembrar a propriedade usada: se 3 divide A e 3 divide B então 3 divide A-B; e se 3 divide A então 3 divide 2A. Essas propriedades justificam as manipulações acima.

Passo 6

Conclusão pela indução: como o caso base ( n=1) é verdadeiro e provou-se que a verdade para n=k implica a verdade para n=k+1, segue por princípio da indução matemática que a propriedade é verdadeira para todo inteiro positivo n. Parabéns — problema provado!

Passo 7

Observação alternativa (intuição rápida, não substitui a prova por indução pedida): trabalhar em aritmética modular. Como 2 \equiv -1 \pmod{3}, elevando à potência n 2^{n} \equiv (-1)^{n} \pmod{3}. Portanto
2^{n}+(-1)^{n+1} \equiv (-1)^{n}+(-1)^{n+1} = (-1)^{n}\bigl(1+(-1)\bigr)=0 \pmod{3},
o que mostra 3\mid 2^{n}+(-1)^{n+1}. Isso é uma forma curta e elegante de ver o resultado.

Resposta

Para todo inteiro positivo n, 3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1}.

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