Mostre, usando o Teorema do Valor Intermediário, que as equações abaixo têm solução no intervalo indicado:
4 x^3-6 x^2+3 x-4 para x in(1,2)

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função f(x)=4x^3-6x^2+3x-4 e queremos mostrar que a equação f(x)=0 tem solução no intervalo (1,2). O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário, que exige que a função seja contínua e que haja mudança de sinal nos extremos do intervalo.

Passo 2

Observação de continuidade: Como f(x) é um polinômio, ela é contínua em todo R, em particular no intervalo fechado [1,2]. Essa continuidade é precisamente a hipótese necessária para aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Cálculo dos valores nos extremos e mudança de sinal: Avaliamos f em 1 e em 2. Temos
f(1)=4cdot1^3-6cdot1^2+3cdot1-4=4-6+3-4=-3
f(2)=4cdot2^3-6cdot2^2+3cdot2-4=32-24+6-4=10
Como f(1)=-3<0 e f(2)=10>0, há mudança de sinal entre os extremos.

Passo 4

Conclusão pelo Teorema do Valor Intermediário: Pela continuidade de f em [1,2] e pela mudança de sinal em 1 e 2, existe pelo menos um c em (1,2) tal que f(c)=0. Portanto, a equação tem solução em (1,2).

Resposta

Existe cin(1,2) tal que 4c^3-6c^2+3c-4=0.

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