Mostre, usando o Teorema do Valor Intermediário, que as equações abaixo têm solução no intervalo indicado:
para
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função
e queremos mostrar que a equação
tem solução no intervalo
. O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário, que exige que a função seja contínua e que haja mudança de sinal nos extremos do intervalo.
Passo 2
Observação de continuidade: Como
é um polinômio, ela é contínua em todo
, em particular no intervalo fechado
. Essa continuidade é precisamente a hipótese necessária para aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 3
Cálculo dos valores nos extremos e mudança de sinal: Avaliamos
em 1 e em 2. Temos
Como
e
, há mudança de sinal entre os extremos.
Passo 4
Conclusão pelo Teorema do Valor Intermediário: Pela continuidade de
em
e pela mudança de sinal em 1 e 2, existe pelo menos um
em
tal que
. Portanto, a equação tem solução em
.
Resposta
Existe
tal que
.