Mostre, utilizando a definição de limite, que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar, usando a definição de limite, que:
Aqui, o conteúdo envolve o conceito de limites e, especificamente, a definição formal de limite usando os conceitos de
e
. Vamos precisar entender como aplicar essa definição para provar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal de limite. Dizemos que:
se, para todo número positivo
, por menor que seja, existe um número positivo
tal que, sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a definição. Queremos mostrar que para todo
, existe um
tal que:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro do valor absoluto:
Então, nossa condição se torna:
Passo 4
Observamos que a expressão
já está diretamente limitada por
. Ou seja, se escolhermos
, então sempre que
, teremos
.
Portanto, definimos:
Passo 5
Com essa escolha de
, garantimos que sempre que
, a condição
será satisfeita. Isso confirma que, de acordo com a definição de limite, o limite de
quando
se aproxima de 2 é realmente 4.
Resposta
Portanto, utilizando a definição de limite, mostramos que: