Mostre, utilizando a definição de limite, que:
lim x 2(x+2)=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar, usando a definição de limite, que:
lim x 2(x+2)=4
Aqui, o conteúdo envolve o conceito de limites e, especificamente, a definição formal de limite usando os conceitos de epsilon e de. Vamos precisar entender como aplicar essa definição para provar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal de limite. Dizemos que:
limx to a f(x) = L
se, para todo número positivo epsilon, por menor que seja, existe um número positivo de tal que, sempre que 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < epsilon.
No nosso caso, f(x) = x + 2, a = 2 e L = 4.

Passo 3

Vamos aplicar a definição. Queremos mostrar que para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que:
0 < |x - 2| < de
Primeiro, simplificamos a expressão dentro do valor absoluto:
|(x + 2) - 4| = |x + 2 - 4| = |x - 2|
Então, nossa condição se torna:
0 < |x - 2| < de

Passo 4

Observamos que a expressão |x - 2| já está diretamente limitada por epsilon. Ou seja, se escolhermos de, então sempre que 0 < |x - 2| < de, teremos |x - 2| < epsilon.
Portanto, definimos:
de

Passo 5

Com essa escolha de de, garantimos que sempre que 0 < |x - 2| < de, a condição |x + 2 - 4| < epsilon será satisfeita. Isso confirma que, de acordo com a definição de limite, o limite de x + 2 quando x se aproxima de 2 é realmente 4.

Resposta

Portanto, utilizando a definição de limite, mostramos que:
lim x 2(x+2)=4

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