Questão 1. Sobre a função f(x)=x-1x^2-1.
a. Determine o domínio da função;
b. Construa o gráfico da função;
c. O que acontece com a imagem da função quando os valores de x se aproximam do ponto x=1 ?
d. Determine o limite da função quando x 1.

Passo 1

Então, temos uma função $ f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 1} $ e precisamos resolver quatro questões sobre ela:
a. Determinar o domínio da função;
b. Construir o gráfico da função;
c. Analisar o que acontece com a imagem da função quando $ x $ se aproxima de 1;
d. Calcular o limite da função quando $ x $ tende a 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio de funções, gráficos de funções racionais, e limites. Vamos por partes!

Passo 2

a. Determinar o domínio da função
Primeiro, o domínio de uma função são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Como nossa função é uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque dividir por zero não é permitido.
A função é:
x
Vamos encontrar os valores de $ x $ que fazem o denominador zero:
f(x) = x - 1x^2 - 1
x
x^2 - 1 = 0
Então, $ x = 1 $ e $ x = -1 $ fazem o denominador zero, o que significa que esses valores não estão no domínio da função.
Logo, o domínio da função é todos os números reais exceto $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 3

b. Construir o gráfico da função
Para desenhar o gráfico de $ f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 1} $, vamos simplificar a função e identificar alguns pontos importantes.
Primeiro, note que o denominador $ x^2 - 1 $ pode ser fatorado:
f(x) = x - 1x^2 - 1
Então, a função fica:
x^2 - 1
Podemos simplificar cancelando $ x - 1 $ no numerador e denominador, mas atenção: isso só é válido quando $ x \neq 1 $, porque em $ x = 1 $ a função não está definida.
Após simplificar:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) (para $ x \neq 1 $)
Agora, vamos plotar $ f(x) = \frac{1}{x + 1} $. Essa é uma função hiperbólica com uma assíntota vertical em $ x = -1 $ e uma assíntota horizontal em $ y = 0 $.
Além disso, lembrando que $ x = 1 $ estava excluído do domínio original, isso cria um “buraco” no gráfico nesse ponto.
Passos para o gráfico:
  1. Identificar as assíntotas:
    • Vertical: $ x = -1 $
    • Horizontal: $ y = 0 $
  2. Marcar o ponto de descontinuidade em $ x = 1 $.
  3. Plotar alguns pontos adicionais para ter uma ideia da forma da curva.
  4. Desenhar a hipérbole, respeitando as assíntotas e o ponto ausente.

Passo 4

c. O que acontece com a imagem da função quando os valores de $ x $ se aproximam de 1?
Estamos interessados em ver o comportamento de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1. Mesmo que a função não esteja definida exatamente em $ x = 1 $, podemos observar o que ocorre nos valores próximos a esse ponto.
Considerando a forma simplificada $ f(x) = \frac{1}{x + 1} $, quando $ x $ se aproxima de 1:
x
Então, à medida que $ x $ se aproxima de 1, $ f(x) $ se aproxima de $ \frac{1}{2} $.

Passo 5

d. Determinar o limite da função quando $ x \rightarrow 1 $
O limite de uma função em um ponto é o valor que a função se aproxima à medida que $ x $ se aproxima desse ponto.
Usando a forma simplificada da função:
x 1
Calculamos:
x
Portanto, o limite da função quando $ x $ tende a 1 é $ \frac{1}{2} $.

Resposta

a. O domínio da função é todos os números reais exceto $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
b. O gráfico da função é uma hipérbole com assíntotas em $ x = -1 $ e $ y = 0 $, e um ponto ausente em $ x = 1 $.
c. Quando $ x $ se aproxima de 1, $ f(x) $ se aproxima de $ \frac{1}{2} $.
d. O limite da função quando $ x $ tende a 1 é $ \frac{1}{2} $.

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