(1,0) Mostre, utilizando a definição de limite (por varepsilon e de ), que lim x 2 4 x-3=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar, usando a definição de limite com ε (épsilon) e δ (delta), que o limite de 4x - 3 quando x se aproxima de 2 é igual a 5. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente sobre limites usando a definição formal. Vamos precisar entender como relacionar varepsilon e de para provar isso direitinho.

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição de limite: queremos que, para qualquer varepsilon > 0, a gente encontre um de 0 tal que, se 0 < |x - 2| < de, então |4x - 3 - 5| < varepsilon. Simplificando, queremos que |4x - 8| < varepsilon.

Passo 3

Vamos simplificar |4x - 8|. Isso dá |4(x - 2)| = 4|x - 2|. Então, nossa condição fica 4|x - 2| < varepsilon.

Passo 4

Agora, para garantir que 4|x - 2| < varepsilon, a gente resolve para |x - 2|: 4|x - 2| < varepsilon implica |x - 2| < varepsilon4.

Passo 5

Então, podemos escolher de. Assim, sempre que 0 < |x - 2| < de, teremos |4x - 3 - 5| < varepsilon, como queríamos mostrar.

Resposta

Portanto, usando de, provamos que lim x 2 4x - 3 = 5 conforme a definição de limite por varepsilon e de.

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