Mostre que se
é uma base de
e
é uma base de
, então
é uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que, se
é a soma direta de dois subespaços
e
, e se
é uma base de
e
é uma base de
, então a união dessas bases,
, também forma uma base de
. Vamos precisar entender conceitos de soma direta, bases de subespaços, geração de vetores e independência linear.
Passo 2
Primeiro, para mostrar que
é uma base de
, precisamos verificar duas coisas: que
gera (spans)
e que os vetores em
são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos começar mostrando que
gera
. Como
, todo vetor
pode ser escrito de forma única como
, onde
e
. Como
é base de
, qualquer
pode ser expresso como combinação linear dos
. Da mesma forma,
é base de
, então qualquer
é uma combinação linear dos
. Portanto, qualquer
pode ser escrito como combinação linear dos vetores em
, ou seja,
gera
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a independência linear dos vetores em
. Suponha que existam escalares
tais que:
Como
, a única maneira de uma soma de elementos de
e
ser zero é se cada parte for zero separadamente. Ou seja:
Como
é uma base de
e os
são lineares independentes, isso implica que todos os
. Da mesma forma, como
é uma base de
e os
são linearmente independentes, todos os
. Portanto, a única solução para a combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero, o que significa que
é linearmente independente.
Resposta
Como
gera
e é linearmente independente, concluímos que
é uma base de
.