Mostre que se V=W1 oplus W2, alpha=v1, v2, ldots, vr é uma base de W1 e beta=u1, u2, ldots, us é uma base de W2, então gamma=v1, v2, ldots, vr, u1, u2, ldots, us é uma base de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que, se é a soma direta de dois subespaços e , e se é uma base de e é uma base de , então a união dessas bases, , também forma uma base de . Vamos precisar entender conceitos de soma direta, bases de subespaços, geração de vetores e independência linear.

Passo 2

Primeiro, para mostrar que é uma base de , precisamos verificar duas coisas: que gera (spans) e que os vetores em são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos começar mostrando que gera . Como , todo vetor pode ser escrito de forma única como , onde e . Como é base de , qualquer pode ser expresso como combinação linear dos . Da mesma forma, é base de , então qualquer é uma combinação linear dos . Portanto, qualquer pode ser escrito como combinação linear dos vetores em , ou seja, gera .

Passo 4

Agora, vamos verificar a independência linear dos vetores em a1v1 + a2v2 + ldots + arvr + b1u1 + b2u2 + ldots + bsus = 0 . Suponha que existam escalares a1v1 + a2v2 + ldots + arvr = 0 e b1u1 + b2u2 + ldots + bsus = 0 tais que:
Como , a única maneira de uma soma de elementos de e ser zero é se cada parte for zero separadamente. Ou seja:
Como é uma base de e os são lineares independentes, isso implica que todos os . Da mesma forma, como é uma base de e os são linearmente independentes, todos os . Portanto, a única solução para a combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero, o que significa que é linearmente independente.

Resposta

Como gera e é linearmente independente, concluímos que é uma base de .

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