Sejam W1, W2 subespaços vetoriais de um espaço vetorial de dimensão n. Supondo que dim W1>n2 e dim W2>n2, mostre que W1 cap W2 neq0.

Passo 1

Resumo do problema: Temos dois subespaços vetoriais e de um espaço vetorial de dimensão . Sabendo que e , queremos mostrar que a intersecção não é apenas o vetor nulo.
Assunto: Teoria dos espaços vetoriais, especificamente sobre a dimensão e intersecção de subespaços.
O que vamos precisar: A fórmula da dimensão da soma de subespaços e entender como aplicar desigualdades de dimensão para chegar à conclusão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 - dim(W1 cap W2)
Essa fórmula relaciona as dimensões dos subespaços e com a dimensão de sua intersecção.

Passo 3

Sabemos que a soma dos subespaços dim(W1 + W2) <= n está contida no espaço vetorial de dimensão , então:
Isso significa que a dimensão da soma não pode exceder a dimensão do espaço original.

Passo 4

Substituindo a fórmula da dimensão da soma na desigualdade, temos:
dim W1 + dim W2 - dim(W1 cap W2) <= n

Passo 5

Vamos reorganizar essa inequação para isolar dim(W1 cap W2) >= dim W1 + dim W2 - n :
Isso nos dá uma relação inferior para a dimensão da intersecção dos dois subespaços.

Passo 6

Sabemos que dim W1 + dim W2 > n2 + n2 = n e . Somando essas duas desigualdades:

Passo 7

Substituindo esse resultado na desigualdade que obtivemos no Passo 5:
dim(W1 cap W2) > n - n = 0
Isso significa que é maior que zero.

Resposta

Portanto, concluímos que .

Exercícios relacionados