Sejam
subespaços vetoriais de um espaço vetorial de dimensão
. Supondo que dim
e
, mostre que
.
Passo 1
Resumo do problema: Temos dois subespaços vetoriais
e
de um espaço vetorial de dimensão
. Sabendo que
e
, queremos mostrar que a intersecção
não é apenas o vetor nulo.
Assunto: Teoria dos espaços vetoriais, especificamente sobre a dimensão e intersecção de subespaços.
O que vamos precisar: A fórmula da dimensão da soma de subespaços e entender como aplicar desigualdades de dimensão para chegar à conclusão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
Essa fórmula relaciona as dimensões dos subespaços
e
com a dimensão de sua intersecção.
Passo 3
Sabemos que a soma dos subespaços
está contida no espaço vetorial de dimensão
, então:
Isso significa que a dimensão da soma não pode exceder a dimensão do espaço original.
Passo 4
Substituindo a fórmula da dimensão da soma na desigualdade, temos:
Passo 5
Vamos reorganizar essa inequação para isolar
:
Isso nos dá uma relação inferior para a dimensão da intersecção dos dois subespaços.
Passo 6
Sabemos que
e
. Somando essas duas desigualdades:
Passo 7
Substituindo esse resultado na desigualdade que obtivemos no Passo 5:
Isso significa que
é maior que zero.
Resposta
Portanto, concluímos que
.