Prove que cada uma das transformações abaixo é linear:
F: P2(R) P2(R) dada por F(p(t))=t^2 p^prime prime(t).

Passo 1

O enunciado define uma transformação
Fcolon P2(R)to P2(R), Fl(p(t)r)=t^2,p''(t),
onde P2(R) é o espaço dos polinômios reais de grau <=2. Queremos mostrar que F é linear, ou seja, para quaisquer escalares alpha,beta e quaisquer polinômios p,qin P2(R) vale
Fl(alpha p+beta qr) =alpha,F(p)+beta,F(q)
Usaremos a linearidade da derivada e o fato de que multiplicar por t^2 também é linear.

Passo 2

Primeiro verificamos que F está bem-definida em P2(R). Se pin P2(R), então p''(t) é um polinômio de grau <=0 (isto é, uma constante) e, ao multiplicar por t^2,
t^2,p''(t)
é um polinômio de grau <=2. Logo F(p)in P2(R).

Passo 3

Agora usamos que a derivada é um operador linear: para quaisquer escalares alpha,beta e polinômios p,q vale
(alpha p+beta q)''(t) =alpha,p''(t)+beta,q''(t)
Multiplicar ambos os lados por t^2 preserva a combinação linear, pois
t^2l(alpha,p''(t)+beta,q''(t)r) =alpha,t^2,p''(t)+beta,t^2,q''(t)

Passo 4

Juntando os resultados do passo anterior, para quaisquer alpha,beta e p,q temos
Fl(alpha p+beta qr) =t^2,(alpha p+beta q)''(t) =alpha,t^2,p''(t)+beta,t^2,q''(t) =alpha,F(p)+beta,F(q)
Isso mostra exatamente a linearidade de F.

Resposta

A transformação F(p)=t^2p''(t) é linear.

Exercícios relacionados