Prove que cada uma das transformações abaixo é linear:
dada por
.
Passo 1
O enunciado define uma transformação
onde
é o espaço dos polinômios reais de grau
. Queremos mostrar que
é linear, ou seja, para quaisquer escalares
e quaisquer polinômios
vale
Usaremos a linearidade da derivada e o fato de que multiplicar por
também é linear.
Passo 2
Primeiro verificamos que
está bem-definida em
. Se
, então
é um polinômio de grau
(isto é, uma constante) e, ao multiplicar por
,
é um polinômio de grau
. Logo
.
Passo 3
Agora usamos que a derivada é um operador linear: para quaisquer escalares
e polinômios
vale
Multiplicar ambos os lados por
preserva a combinação linear, pois
Passo 4
Juntando os resultados do passo anterior, para quaisquer
e
temos
Isso mostra exatamente a linearidade de
.
Resposta
A transformação
é linear.