7 Se três vetores
são linearmente independentes, prove que
são também linearmente independentes, onde
são escalares arbitrários.
Passo 1
O enunciado diz que
são três vetores linearmente independentes e pede para mostrar que o novo tripé
também é linearmente independente.
Para isso, vamos usar a definição: se
Para isso, vamos usar a definição: se
implica
, então os novos vetores são independentemente lineares.
Passo 2
Escrevendo e expandindo a combinação genérica, temos
Agrupando os coeficientes dos vetores
, obtemos
Passo 3
Como
Se . Substituindo em
dá
, e em
dá
.
Portanto a única solução é
, isto é, o conjunto é linearmente independente.
Se , o terceiro vetor reduz-se a
e o conjunto fica dependente.
Se