7 Se três vetores X, Y, Z são linearmente independentes, prove que X, Y+a X, Z+b Y+c Z são também linearmente independentes, onde a, b, c são escalares arbitrários.

Passo 1

O enunciado diz que X,Y,Z são três vetores linearmente independentes e pede para mostrar que o novo tripé
X, Y + aX, Z + bY + cZ
também é linearmente independente.
Para isso, vamos usar a definição: se
alpha,X ;+;beta,(Y + aX);+;gamma,(Z + bY + cZ);=;0
implica alpha=beta=gamma=0, então os novos vetores são independentemente lineares.

Passo 2

Escrevendo e expandindo a combinação genérica, temos
alpha,X + beta,Y + beta,aX + gamma,Z + gamma,bY + gamma,cZ = 0
Agrupando os coeficientes dos vetores X,Y,Z, obtemos
(alpha + beta,a),X ;+;(beta + gamma,b),Y ;+;(1+c),gamma,Z = 0

Passo 3

Como
Se . Substituindo em , e em .
Portanto a única solução é , isto é, o conjunto é linearmente independente.
Se , o terceiro vetor reduz-se a e o conjunto fica dependente.

Resposta

X,;Y+aX,;Z+bY+cZ são linearmente independentes desde que 1+cneq 0 (isto é, cneq -1).

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