Mostre que a variação na entropia é De<a S=k N ln 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a variação de entropia de um gás ideal de N partículas, quando o volume dobra de V para 2V, é De<a S = k N ln 2. Vamos usar a definição de entropia de Boltzmann S = k ln Omega e o fato de que a multiplicidade Omega de um gás ideal no espaço de posição é proporcional a V^N.

Passo 2

Inicialmente o gás ocupa o volume V. A multiplicidade inicial pode ser escrita como
Omegai = C,V^N
onde C é uma constante que engloba o espaço de momentos e demais fatores independentes de V.

Passo 3

Após a expansão livre para o volume 2V, cada partícula ganha um fator de 2 no número de estados de posição, de modo que
Omegaf = C,(2V)^N = 2^N,C,V^N = 2^N,Omegai

Passo 4

Usando a definição de entropia de Boltzmann, a variação de entropia é
De<a S = Sf - Si = klnOmegaf - klnOmegai = klnOmegafOmegai = kln 2^N = k,Nln 2

Resposta

De<a S = k,Nln 2.

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