Questão 3.(10 Pontos)Uma bobina de N voltas de fio é enrolada sobre um núcleo toroidal de seção retangular. O núcleo é construído com duas camadas ferromagnéticas de permeabilidades mu1 e mu2. Os raios interno e externo do toroide são a e c, sua altura é h e o raio da fronteira entre os dois meios é b. Calcule a indutância da bobina.

Passo 1

O enunciado descreve uma bobina de N voltas enrolada num núcleo toroidal de seção retangular e altura h. O núcleo tem duas camadas concêntricas: de raio interno a até b a permeabilidade é mu1, e de b até c é mu2. Precisamos calcular a indutância L da bobina usando eletromagnetismo (Lei de Ampère, fluxo magnético e definição L=NPhi/I).

Passo 2

Para obter o campo magnético no interior do toroide aplicamos a Lei de Ampère a um caminho circular de raio r (com a<= r<= c):
oint Hcdot dl = H(r),2pi r = N,I
Logo,
H(r) = N,I2pi r

Passo 3

Em cada camada o vetor densidade de fluxo é dado por B(r)=mu,H(r). Assim:
B1(r)=mu1,N,I2pi r(a<= r<= b),
B2(r)=mu2,N,I2pi r(b<= r<= c)

Passo 4

O fluxo magnético por volta é a integral de B sobre a área de seção transversal ( h,dr):
Phi = integralSBcdot dS = hintegrala^bB1(r),dr ;+; hintegralb^cB2(r),dr

Passo 5

Substituindo B1 e B2 e extraindo constantes:
Phi = N,I,h2pil[mu1integrala^bdrr ;+;mu2integralb^cdrrr] = N,I,h2pil[mu1ln!tfracba + mu2ln!tfraccbr]

Passo 6

Pela definição de indutância L=NPhi/I, temos
L = N^2,h2pil[mu1lnba + mu2lncbr]

Resposta

L = N^2,h2pil(mu1lnba ;+;mu2lncbr)

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