Mostre que a variação da pressão com a profundidade é
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o enunciado tá pedindo. Ele quer mostrar que, à medida que a gente desce numa coluna de líquido, a pressão cresce do jeito
Aqui o conteúdo é estática dos fluidos (hidrostática) e a gente vai precisar de:
- Definição de pressão (força por área).
- Noção de densidade (
) e peso do líquido. - Fazer um “balanceamento” de forças num pedacinho de líquido e usar cálculo diferencial/integral.
Passo 2
Antes de sair fazendo conta, vamos relembrar uns conceitos:
- Pressão, por definição, é
, ou seja, força normal por unidade de área. - Densidade
diz quanta massa tem num volume: . - O peso de uma massa
é .
Agora, imagine um cilindro de líquido de área de base
e espessura infinitesimal
, mergulhado a uma profundidade
. A ideia é olhar as forças sobre esse cilindro “na vertical” e supor que ele está em equilíbrio (não vai subir nem descer).
Passo 3
Quais são as forças que agem no cilindro?
- Força para cima na face de baixo:
. - Força para baixo na face de cima:
. - Peso do próprio pedaço de líquido:
Como o líquido não se desloca, soma das forças verticais = 0:
Passo 4
Substituindo cada força na equação de equilíbrio:
A gente pode reorganizar:
Se dividirmos tudo por
e deixarmos
, vira derivada:
Passo 5
Agora é só integrar essa relação diferencial. Como
e
são constantes no nosso problema:
Se a gente escolher como referência
(pressão gauge na superfície), fica