Mostre que a variação da pressão com a profundidade é p=rho g h.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o enunciado tá pedindo. Ele quer mostrar que, à medida que a gente desce numa coluna de líquido, a pressão cresce do jeito
p = rho , g , h
Aqui o conteúdo é estática dos fluidos (hidrostática) e a gente vai precisar de:
  1. Definição de pressão (força por área).
  2. Noção de densidade ( ) e peso do líquido.
  3. Fazer um “balanceamento” de forças num pedacinho de líquido e usar cálculo diferencial/integral.

Passo 2

Antes de sair fazendo conta, vamos relembrar uns conceitos:
  • Pressão, por definição, é , ou seja, força normal por unidade de área.
  • Densidade diz quanta massa tem num volume: .
  • O peso de uma massa é .
Agora, imagine um cilindro de líquido de área de base e espessura infinitesimal , mergulhado a uma profundidade . A ideia é olhar as forças sobre esse cilindro “na vertical” e supor que ele está em equilíbrio (não vai subir nem descer).

Passo 3

Quais são as forças que agem no cilindro?
  1. Força para cima na face de baixo: De.
  2. Força para baixo na face de cima: Fbaixo ;-; Fcima ;-; P ;=; 0 .
  3. Peso do próprio pedaço de líquido:
Como o líquido não se desloca, soma das forças verticais = 0:

Passo 4

Substituindo cada força na equação de equilíbrio:
p(h+dh),A ;-; p(h),A ;-; rho,A,dh,g = 0
A gente pode reorganizar:
p(h+dh) - p(h) = rho,g,dh
Se dividirmos tudo por dpdh = rho , g e deixarmos , vira derivada:

Passo 5

Agora é só integrar essa relação diferencial. Como integralp(0)^p(h) dp = integral0^h rho,g,dh' Longrightarrow p(h) - p(0) = rho,g,h e p(h) = rho , g , h são constantes no nosso problema:
Se a gente escolher como referência (pressão gauge na superfície), fica

Resposta

boxedp = rho,g,h

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