Verifique se \varphi(x)=2 /\left(1-c e^{2}\right), onde c é uma constante arbitrária, é uma familia de soluções com um parâmetro para
\frac{d y}{d x}=\frac{y(y-2)}{2} .
Represente em gráfico as curvas de solução correspondentes a c=0, \pm 1, \pm 2 usando os mesmos eixos de coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y(y-2)}{2}
e apresenta a função proposta
\varphi(x)=\frac{2}{1-c e^{2}},
onde c é uma constante arbitrária, e pede para verificar se isso é uma família de soluções com um parâmetro e, em seguida, representar graficamente as curvas de solução para c=0,\pm1,\pm2 nos mesmos eixos de coordenadas.
Observação importante (ambiguidade): a expressão \varphi(x)=\dfrac{2}{1-c e^{2}} não depende de x (porque e^{2} é constante), então é uma função constante para cada c. Eu não tenho como perguntar, então vou atuar assim:
  • Vou primeiro checar se a expressão exatamente como está (ou seja, sem x no expoente) é uma família de soluções.
  • Depois vou resolver a equação diferencial de forma canônica (separando variáveis) e mostrar a forma correta da família de soluções que costuma aparecer neste tipo de EDO; é provável que o enunciado tivesse a forma \dfrac{2}{1-c e^{x}} (ou equivalente), então vou derivar e verificar essa forma também.
  • Em seguida apresento as curvas (tabelas de pontos e comportamento assintótico) para c=0,\pm1,\pm2 usando a família correta.

Passo 2

Checagem rápida da função dada tal qual escrita: \varphi(x)=\dfrac{2}{1-c e^{2}}.
  • Como e^{2} é constante, \varphi(x) é constante (não depende de x). Para uma função constante y(x)=k ser solução da EDO é necessário que 0=\dfrac{y(y-2)}{2} (porque dy/dx=0). Assim constantes soluções satisfazem y(y-2)=0, ou seja y=0 ou y=2.
  • A função \dfrac{2}{1-c e^{2}} vale 2 apenas quando 1-c e^{2}=1, isto é quando c=0. Para c=0 obtemos \varphi(x)=2, que é uma solução (constante y\equiv2). Para qualquer outro c a constante \dfrac{2}{1-c e^{2}} normalmente não é 0 nem 2, portanto não satisfaz a EDO.
    Conclusão parcial: a expressão dada sem x no expoente não é, em geral, uma família de soluções — apenas o caso c=0 dá solução ( y\equiv2).

Passo 3

Agora resolvemos a EDO por separação de variáveis para obter a família geral de soluções (a forma canônica que normalmente se espera).
Passo a passo do método (explicando cada coisa):
  • “Separar variáveis” significa escrever a equação com todos os termos envolvendo y de um lado e todos os que envolvem x do outro, de modo que possamos integrar ambos os lados.
  • Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{y(y-2)}{2}.
Reescrevendo separando y e x:
\frac{dy}{y(y-2)}=\frac{dx}{2}.
Aqui dividimos ambos os lados por y(y-2) e multiplicamos por dx.
Agora integramos ambos os lados. Antes, fazemos frações parciais na primeira fração:
Queremos \dfrac{1}{y(y-2)}=\dfrac{A}{y}+\dfrac{B}{y-2}. Igualando numeradores:
1 = A(y-2)+By = (A+B)y - 2A.
Comparando coeficientes obtemos o sistema A+B=0 e -2A=1, daí A=-\tfrac{1}{2} e B=+\tfrac{1}{2}.
Logo
\frac{1}{y(y-2)}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{y}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{y-2}.
Integramos:
\int\left(-\frac{1}{2}\frac{1}{y}+\frac{1}{2}\frac{1}{y-2}\right)dy=\int\frac{dx}{2}.
As primitivas são
-\frac{1}{2}\ln|y|+\frac{1}{2}\ln|y-2|=\frac{x}{2}+C,
onde C é a constante de integração.
Multiplicando por 2 para simplificar:
\ln\left|\frac{y-2}{y}\right|=x+C',
com C'=2C. Agora exponenciamos:
\left|\frac{y-2}{y}\right| = e^{x+C'} = K e^{x},
onde K=\pm e^{C'} é uma constante arbitrária não nula (podemos permitir K real qualquer, inclusive negativo; sinais gerenciam o módulo).
Removendo o valor absoluto e resolvendo para y:
\frac{y-2}{y}=K e^{x}\quad\Rightarrow\quad y-2 = y K e^{x}\quad\Rightarrow\quad y(1-K e^{x})=2.
Portanto, quando 1-K e^{x}\neq0,
y(x)=\frac{2}{1-K e^{x}}.
Renomeando a constante K por c (é comum), obtemos a família geral
\boxed{y(x)=\frac{2}{1-c e^{x}},}
com c constante real (desde que o denominador não zere).

Passo 4

Verificação direta por substituição (mostrando que a derivada dá a mesma expressão):
Tomemos y(x)=\dfrac{2}{1-c e^{x}}. Escreva u(x)=1-c e^{x} para facilitar; então y=2u^{-1}.
  • Derivamos: u'(x)=-c e^{x}. Então
y'(x)=2\cdot(-1)u^{-2}u'(x)= -2 u^{-2}(-c e^{x}) = \frac{2c e^{x}}{u^{2}}.
  • Agora calcule o lado direito da EDO:
\frac{y(y-2)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{u}\right)\left(\frac{2}{u}-2\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{4}{u^{2}}-\frac{4}{u}\right) =\frac{2}{u^{2}}\big(1 - u\big).
Mas 1-u = 1-(1-c e^{x}) = c e^{x}. Portanto
\frac{y(y-2)}{2}=\frac{2}{u^{2}}(c e^{x})=\frac{2c e^{x}}{u^{2}}.
Isto coincide exatamente com y'(x) encontrado antes. Portanto y(x)=\dfrac{2}{1-c e^{x}} satisfaz a EDO sempre que o denominador seja diferente de zero. Concluímos que é, de fato, uma família de soluções com parâmetro c.

Passo 5

Comparação com a expressão dada no enunciado e domínio das soluções:
  • A família correta que aparece da integração é \;y(x)=\dfrac{2}{1-c e^{x}}\;.
  • A expressão escrita no enunciado \varphi(x)=\dfrac{2}{1-c e^{2}} sem dependência em x não é, em geral, solução; só é solução para c=0 (que dá y\equiv2). Portanto, se o enunciado pretendia escrever e^{x} no expoente, então está tudo correto e a família é como acima; se de fato escreveu e^{2} sem x, então não é família de soluções exceto no caso c=0.
Domínio e assíntotas:
  • Para cada c tal que 1-c e^{x}=0 em algum x, há uma assíntota vertical nessa abscissa x=-\ln c (válido para c>0). Para c\le0 não ocorre denominador zero.
  • Para x\to -\infty temos e^{x}\to0 e y\to2 (todas as soluções aproximam y=2 à esquerda).
  • Para x\to +\infty, se c\neq0 então e^{x}\to+\infty e y\to0 (aproxima-se de 0; o sinal dependerá de c). Para c=0 temos a solução constante y\equiv2.

Passo 6

Representação gráfica das curvas para c=0,\pm1,\pm2. Vou dar:
  • as expressões explícitas,
  • pontos calculados em alguns x úteis para plotagem,
  • e indicação de assíntotas e comportamento, para você desenhar tudo nos mesmos eixos (ou para reproduzir num software).
As funções são (usando a forma correta com e^{x}):
\begin{aligned} c=0:&\quad y(x)=2.\\[4pt] c=1:&\quad y(x)=\dfrac{2}{1-e^{x}}\quad\text{(assíntota vertical em }x=0).\\[4pt] c=2:&\quad y(x)=\dfrac{2}{1-2e^{x}}\quad\text{(assíntota vertical em }x=-\ln 2\approx-0{,}693).\\[4pt] c=-1:&\quad y(x)=\dfrac{2}{1+e^{x}}\quad\text{(sem assíntota, decrescente de 2 para 0).}\\[4pt] c=-2:&\quad y(x)=\dfrac{2}{1+2e^{x}}\quad\text{(sem assíntota, decrescente de 2 para 0).} \end{aligned}íííí
Tabela de valores aproximados (úteis para traçar o gráfico) com x=-3,-1,-0{,}5,0,1,2. Use estes pontos nos mesmos eixos:
Para c=0 (reta horizontal):
y\equiv2.
Para c=1, y=\dfrac{2}{1-e^{x}}:
\begin{aligned} x=-3:&\; y\approx2{,}11,\\\ x=-1:&\; y\approx3{,}17,\\\ x=-0{,}5:&\; y\approx5{,}09,\\\ x=0:&\; \text{denominador }0\\ \text{(assíntota)},\\\ x=1:&\; y\approx-1{,}16,\\\ x=2:&\; y\approx-0{,}31. \end{aligned}í
Para c=2, y=\dfrac{2}{1-2e^{x}}:
\begin{aligned} x=-3:&\; y\approx2{,}22,\\\ x=-1:&\; y\approx7{,}57,\\\ x=-0{,}5:&\; y\approx-9{,}39\\ (\text{já após a assíntota em }x\approx-0{,}693),\\\ x=0:&\; y=-2,\\\ x=1:&\; y\approx-0{,}45,\\\ x=2:&\; y\approx-0{,}15. \end{aligned}áóí
Para c=-1, y=\dfrac{2}{1+e^{x}}:
\begin{aligned} x=-3:&\; y\approx1{,}905,\\\ x=-1:&\; y\approx1{,}462,\\\ x=-0{,}5:&\; y\approx1{,}245,\\\ x=0:&\; y=1,\\\ x=1:&\; y\approx0{,}538,\\\ x=2:&\; y\approx0{,}239. \end{aligned}
Para c=-2, y=\dfrac{2}{1+2e^{x}}:
\begin{aligned} x=-3:&\; y\approx1{,}819,\\\ x=-1:&\; y\approx1{,}153,\\\ x=-0{,}5:&\; y\approx0{,}904,\\\ x=0:&\; y=\tfrac{2}{3}\approx0{,}667,\\\ x=1:&\; y\approx0{,}311,\\\ x=2:&\; y\approx0{,}127. \end{aligned}
Instruções para desenhar (passo a passo, como num rascunho):
  1. Trace eixos x (horizontal) e y (vertical). Marque uma linha horizontal y=2 (solução c=0).
  2. Para c=1: desenhe pontos dados, note a assíntota vertical em x=0; à esquerda de x=0 a curva sobe de y\to2 (quando x\to -\infty) até +\infty quando se aproxima de 0^{-}; à direita de 0 a curva é negativa e vai para 0^{-} quando x\to+\infty.
  3. Para c=2: coloque assíntota em x\approx-0{,}693; à esquerda a curva vem de 2 e sobe para +\infty perto da assíntota; à direita passa para valores negativos e vai para 0^{-} quando x\to+\infty.
  4. Para c=-1 e c=-2: não há assíntotas; as curvas são positivas, monotonicamente decrescentes de 2 (quando x\to -\infty) para 0^{+} (quando x\to+\infty). Use os pontos da tabela para desenhar as formas suaves.
  5. Faça todas as cinco curvas no mesmo sistema de eixos, indicando as assíntotas verticais (linhas tracejadas) para c=1 e c=2 e marcando a reta y=2 para referência.
Se for usar um software (por exemplo GeoGebra, Desmos ou Python/Matplotlib), digite as expressões
y=\frac{2}{1-c\;e^{x}}
e plote para c\in\{0,1,2,-1,-2\} em um mesmo gráfico. Ajuste o intervalo de x (por exemplo de -5 a 5) e exclua pontos muito próximos das assíntotas verticais para evitar valores absurdos.]

Resposta

A expressão dada tal como escrita, \displaystyle \varphi(x)=\frac{2}{1-c e^{2}}, não é uma família de soluções dependente de x; é constante e só fornece solução (constante) quando c=0 (nesse caso \varphi\equiv2).
A família correta de soluções obtida pela separação de variáveis é
\displaystyle y(x)=\frac{2}{1-c e^{x}},
que satisfaz a EDO \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y(y-2)}{2} (desde que o denominador não zere).
As curvas pedidas são
\begin{aligned} c=0:&\quad y(x)=2,\\[4pt] c=1:&\quad y(x)=\dfrac{2}{1-e^{x}}\\ (\text{assíntota vertical em }x=0),\\[4pt] c=2:&\quad y(x)=\dfrac{2}{1-2e^{x}}\\ (\text{assíntota vertical em }x=-\ln 2\approx-0{,}693),\\[4pt] c=-1:&\quad y(x)=\dfrac{2}{1+e^{x}},\\[4pt] c=-2:&\quad y(x)=\dfrac{2}{1+2e^{x}}. \end{aligned}íí]

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