Mostre que
são coplanares, se somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que três vetores
em
são coplanares se, e somente se, o produto misto
O conteúdo envolvido é a definição de coplanaridade, produto vetorial, produto escalar e produto misto (ou triplo). Vamos usar que
e interpretar geometricamente.
Passo 2
Define-se que
são coplanares quando existe combinação linear
para alguns escalares
, isto é,
pertence ao plano gerado por
e
. O produto misto
mede, em valor absoluto, o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.
Passo 3
Demonstração da implicação direta (“se”): suponha que
são coplanares. Então
para certos
. Logo,
Mas
e
, de modo que cada termo é nulo e
Passo 4
Demonstração da implicação inversa (“somente se”): suponha agora que
Se
, então
e
são linearmente independentes e
é um vetor normal ao plano
. Da igualdade
conclui-se que
é ortogonal a
, logo
pertence ao plano ortogonal a
, que é exatamente o plano gerado por
e
. Assim,
, i.e.\
são coplanares.
Se , então
e
são colineares e qualquer
forma trivialmente um conjunto coplanar, já que dois vetores colineares geram uma reta, e sempre existe um plano contendo essa reta e
.
Se
Resposta
Mostramos que
são coplanares se, e somente se,