Mostre que \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} são coplanares, se somente se [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} em \mathbb{R}^3 são coplanares se, e somente se, o produto misto
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=0.
O conteúdo envolvido é a definição de coplanaridade, produto vetorial, produto escalar e produto misto (ou triplo). Vamos usar que
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c},
e interpretar geometricamente.

Passo 2

Define-se que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares quando existe combinação linear
\vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}
para alguns escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}, isto é, \vec{c} pertence ao plano gerado por \vec{a} e \vec{b}. O produto misto [\vec{a},\vec{b},\vec{c}] mede, em valor absoluto, o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.

Passo 3

Demonstração da implicação direta (“se”): suponha que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares. Então
\vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}
para certos \alpha,\beta. Logo,
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] =\vec{a}\cdot\bigl(\vec{b}\times(\alpha\vec{a}+\beta\vec{b})\bigr) =\alpha\,\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{a}) +\beta\,\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{b}).
Mas \vec{b}\times\vec{a}=-\,(\vec{a}\times\vec{b}) e \vec{b}\times\vec{b}=\vec{0}, de modo que cada termo é nulo e
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=0.

Passo 4

Demonstração da implicação inversa (“somente se”): suponha agora que
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=0.
Se \vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}, então \vec{a} e \vec{b} são linearmente independentes e \vec{n}=\vec{a}\times\vec{b} é um vetor normal ao plano \mathrm{span}\{\vec{a},\vec{b}\}. Da igualdade
0=[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{n}\cdot\vec{c},
conclui-se que \vec{c} é ortogonal a \vec{n}, logo \vec{c} pertence ao plano ortogonal a \vec{n}, que é exatamente o plano gerado por \vec{a} e \vec{b}. Assim, \vec{c}\in\mathrm{span}\{\vec{a},\vec{b}\}, i.e.\ \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares.
Se \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}, então \vec{a} e \vec{b} são colineares e qualquer \vec{c} forma trivialmente um conjunto coplanar, já que dois vetores colineares geram uma reta, e sempre existe um plano contendo essa reta e \vec{c}.

Resposta

Mostramos que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares se, e somente se,
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=0.

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