Se \vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=\overrightarrow{0}. Mostre que \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} são coplanares.

Passo 1

O enunciado afirma que
\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{a} = \overrightarrow{0}.
Queremos mostrar que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares, isto é,
\vec{a}\cdot\bigl(\vec{b}\times\vec{c}\bigr)=0.

Passo 2

Para extrair a informação de coplanaridade a partir da soma vetorial, tomamos o produto escalar de cada lado da equação com \vec{a}. Assim,
\vec{a}\cdot\bigl(\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{a}\bigr) = \vec{a}\cdot\overrightarrow{0} = 0.

Passo 3

Pela linearidade do produto escalar, temos
\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}) + \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) + \vec{a}\cdot(\vec{c}\times\vec{a}) = 0.

Passo 4

Usamos a propriedade de que qualquer vetor é ortogonal ao seu próprio produto vetorial com outro vetor, ou seja,
\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}) = 0 \quad\text{e}\quad \vec{a}\cdot(\vec{c}\times\vec{a}) = 0.
Logo a única contribuição possível vem de \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).

Passo 5

Com isso a soma do Passo 3 reduz-se a
0 + \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) + 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = 0.
Como o produto escalar \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) é justamente o triplo produto escalar, sua nulidade implica que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares.

Resposta

As vetores \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} são coplanares, pois \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0.

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