Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo
. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de
em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
Queremos encontrar todos os autovalores
, os autovetores não nulos
tais que
e, para cada
, o autoespaço correspondente.
Passo 2
Vamos usar a representação matricial de
na base canônica de
. Seja
O polinômio característico é
Logo os autovalores são as raízes
Passo 3
Para
resolvemos
Na forma de componentes,
A condição
implica
, ou seja
, sem restrição em
.
Portanto os autovetores associados a são todos os
com
, e o autoespaço é
Portanto os autovetores associados a
Passo 4
Para
resolvemos
Em componentes,
A condição
implica
, ou seja
, sem restrição em
.
Portanto os autovetores associados a são os
com
, e o autoespaço é
Portanto os autovetores associados a
Resposta
Os autovalores são
e
.
Para o autoespaço é
.
Para o autoespaço é
.
Para
Para