Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
T(x, y)=(4 x, y)

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (4x,\,y).
Queremos encontrar todos os autovalores \lambda, os autovetores não nulos v tais que T(v)=\lambda v e, para cada \lambda, o autoespaço correspondente.

Passo 2

Vamos usar a representação matricial de T na base canônica de \mathbb{R}^2. Seja
A = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}4-\lambda & 0 \\[3pt] 0 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)\,(1-\lambda).
Logo os autovalores são as raízes
\lambda_1 = 4 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = 1.]

Passo 3

Para \lambda_1=4 resolvemos
(T - 4I)(x,y) = 0.
Na forma de componentes,
(T - 4I)(x,y) = \bigl((4-4)x,\,(1-4)y\bigr) = (0,\,-3y).
A condição (0,-3y)=(0,0) implica -3y=0, ou seja y=0, sem restrição em x\neq 0.
Portanto os autovetores associados a \lambda_1=4 são todos os (x,0) com x\neq 0, e o autoespaço é
E_{4} = \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(1,0)\}.

Passo 4

Para \lambda_2=1 resolvemos
(T - 1I)(x,y) = 0.
Em componentes,
(T - 1I)(x,y) = \bigl((4-1)x,\,(1-1)y\bigr) = (3x,\,0).
A condição (3x,0)=(0,0) implica 3x=0, ou seja x=0, sem restrição em y\neq 0.
Portanto os autovetores associados a \lambda_2=1 são os (0,y) com y\neq 0, e o autoespaço é
E_{1} = \{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(0,1)\}.

Resposta

Os autovalores são \lambda=4 e \lambda=1.
Para \lambda=4 o autoespaço é E_{4} = \mathrm{span}\{(1,0)\}.
Para \lambda=1 o autoespaço é E_{1} = \mathrm{span}\{(0,1)\}.

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