Resolva o sistema
\left\{\begin{array}{l} \vec{x} \times \vec{u}=\overrightarrow{0} \quad(\vec{u} \neq \overrightarrow{0}) \\ \vec{x} \cdot \vec{u}=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} \vec{x}\times\vec{u}=\overrightarrow{0},\\\ \vec{x}\cdot\vec{u}=1, \end{cases}
com \vec{u}\neq\overrightarrow{0}. O conteúdo envolvido é a interpretação geométrica do produto vetorial (que anula quando os vetores são colineares) e o produto escalar.

Passo 2

Da equação \vec{x}\times\vec{u}=\overrightarrow{0} concluímos que \vec{x} e \vec{u} são paralelos. Logo existe um escalar \lambda tal que
\vec{x}=\lambda\,\vec{u}.

Passo 3

Substituímos \vec{x}=\lambda\,\vec{u} na segunda equação:
\vec{x}\cdot\vec{u} =(\lambda\,\vec{u})\cdot\vec{u} =\lambda\,(\vec{u}\cdot\vec{u}) =1.
Como \vec{u}\neq\overrightarrow{0}, temos \vec{u}\cdot\vec{u}\neq0, então
\lambda=\frac{1}{\vec{u}\cdot\vec{u}}.

Passo 4

Substituindo \lambda em \vec{x}=\lambda\,\vec{u}, obtemos a solução única
\vec{x} =\frac{1}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\,\vec{u}.

Resposta

\displaystyle \vec{x}=\frac{\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}.

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