Questão 2. Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
\iiint_{E} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} V
em que E é o sólido exterior ao cone z=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}} e interior ao paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
Res.: O cone tem equação \rho \cos \varphi=\frac{\rho \operatorname{sen} \varphi}{\sqrt{3}} em coordenadas esféricas (já que x^{2}+y^{2}=\rho \operatorname{sen} \varphi ). Logo, a equação do cone é \tan \varphi=\sqrt{3}, ou seja, \varphi=\frac{\pi}{3}.
A equação do plano z=0 em coordenadas esféricas é \rho \cos \varphi=0, ou seja, \varphi=\frac{\pi}{2} (pois \cos \varphi=0 ). Assim, variação de \varphi será \frac{\pi}{3} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}. A equação do paraboloide em coordenadas esféricas é: \rho \cos \varphi=(\rho \operatorname{sen} \varphi)^{2}, ou seja, \rho=\frac{\cos \varphi}{\operatorname{sen}^{2} \varphi}.
Portanto,
\begin{aligned} \iiint_{E} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V & =\int_{0}^{2 \pi} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\cos \varphi}{\operatorname{sen}^{2} \varphi}} \frac{\rho \sin \varphi}{\rho^{3}} \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta \\\ & =\int_{0}^{2 \pi} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\cos \varphi}{\sin ^{2} \varphi}} \sin ^{2} \varphi d \rho d \varphi d \theta \\\ & =\int_{0}^{2 \pi} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \varphi d \varphi d \theta \\\ & =\left(\int_{0}^{2 \pi} d \theta\right)\left(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \varphi d \varphi\right)=2 \pi\left[\sin \frac{\pi}{2}-\sin \frac{\pi}{6}\right] \\\ & =2 \pi\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\pi(2-\sqrt{3}) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}}\,dV
onde E é a região exterior ao cone
z = \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}}
e interior ao paraboloide
z = x^{2}+y^{2}.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
com Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi, e então descrever corretamente os limites de \rho,\varphi,\theta.

Passo 2

Em esféricas temos
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \rho\sin\varphi, \qquad x^{2}+y^{2}+z^{2} = \rho^{2}.
Logo o integrando fica
\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\tfrac{3}{2}}} = \frac{\rho\sin\varphi}{\rho^{3}} = \frac{\sin\varphi}{\rho^{2}}.
Multiplicando pelo Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi resulta
\frac{\sin\varphi}{\rho^{2}}\;\rho^{2}\sin\varphi = \sin^{2}\varphi.

Passo 3

Definimos os ângulos \varphi a partir do cone e do plano z=0.
– No cone:
\rho\cos\varphi = \sqrt{\tfrac{1}{3}}\,\rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{\pi}{3}.
– Na parte “interna” (até o plano z=0): \varphi vai de \frac{\pi}{3} (cone) até \frac{\pi}{2} (plano z=0).
– O ângulo \theta percorre o círculo completo: 0\le\theta\le2\pi.

Passo 4

O limite em \rho vem do paraboloide
\rho\cos\varphi = (\rho\sin\varphi)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \rho = \frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}.
Como estamos “dentro” do paraboloide, \rho vai de 0 até \frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}.

Passo 5

Montando a integral em esféricas:
\iiint_{E}\cdots =\int_{0}^{2\pi}\!\! \int_{\varphi=\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\!\! \int_{\rho=0}^{\frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}} \sin^{2}\varphi \;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{\frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}} \sin^{2}\varphi\,d\rho = \sin^{2}\varphi\;\Bigl[\rho\Bigr]_{0}^{\frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}} = \sin^{2}\varphi\;\frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi} = \cos\varphi.
A integral passa a ser
\int_{0}^{2\pi}d\theta \;\times\; \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\varphi\,d\varphi = 2\pi\;\Bigl[\sin\varphi\Bigr]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} =2\pi\Bigl(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) =\pi\,(2-\sqrt{3}).

Resposta

\pi\,(2-\sqrt{3}).

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