Questão 2. Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
em que
é o sólido exterior ao cone
e interior ao paraboloide
.
Res.: O cone tem equação
em coordenadas esféricas (já que
). Logo, a equação do cone é
, ou seja,
.
A equação do plano
em coordenadas esféricas é
, ou seja,
(pois
). Assim, variação de
será
. A equação do paraboloide em coordenadas esféricas é:
, ou seja,
.
Portanto,
Res.: O cone tem equação
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região exterior ao cone
e interior ao paraboloide
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas:
com Jacobiano
, e então descrever corretamente os limites de
.
Passo 2
Em esféricas temos
Logo o integrando fica
Multiplicando pelo Jacobiano
resulta
Passo 3
Definimos os ângulos
a partir do cone e do plano
.
– No cone:
– No cone:
– Na parte “interna” (até o plano
):
vai de
(cone) até
(plano
).
– O ângulo percorre o círculo completo:
.
– O ângulo
Passo 4
O limite em
vem do paraboloide
Como estamos “dentro” do paraboloide,
vai de
até
.
Passo 5
Montando a integral em esféricas:
Primeiro integramos em
:
A integral passa a ser