- Mostre que a velocidade média de um carro em um intervalo de tempo
é a mesma que a média de suas velocidades durante a viagem.
Passo 1
O enunciado dá um carro que se move ao longo de uma trajetória descrita por uma função de posição
(assumir que
é diferenciável em
). As informações relevantes são:
- Há um intervalo de tempo
. - A velocidade instantânea do carro em cada tempo
é dada por .
O que o problema pede: mostrar que a velocidade média do carro no intervaloé igual à média (temporal) das suas velocidades ao longo da viagem.
Passo 2
Definir com clareza o que é “velocidade média” no sentido do enunciado. A velocidade média
no intervalo
é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo, ou seja:
Explicação:
é o deslocamento (variação da posição) do carro entre os instantes
e
. Dividindo pelo comprimento do intervalo temporal
obtém-se a velocidade média (uma medida de quanto, em média, a posição mudou por unidade de tempo).
Passo 3
Definir com clareza o que significa “média de suas velocidades durante a viagem”. A média temporal da função velocidade
em
é definida por
Explicação: a integral
representa a soma acumulada (área abaixo da curva
) das contribuições instantâneas de velocidade ao longo do tempo; dividindo pelo comprimento do intervalo obtemos a média (média aritmética contínua no tempo).
Passo 4
Relacionar velocidade instantânea com a posição. Por definição da velocidade instantânea,
onde
é a derivada de
em relação a
. Explicação: a derivada
mede a taxa de variação instantânea da posição — exatamente a velocidade naquele instante.
Passo 5
Usar a igualdade
dentro da integral que aparece na média temporal. Considerar a integral da derivada em
:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (a integral da derivada de uma função contínua diferenciável no intervalo é a variação dessa função entre os extremos),
Explicação do Teorema Fundamental do Cálculo em palavras simples: integrar a taxa de variação (a derivada) de uma grandeza ao longo de um intervalo dá a mudança total dessa grandeza nesse intervalo.
Passo 6
Substituir o resultado da integral na definição da média temporal de
. Temos:
Comparando com a fórmula da velocidade média
do Passo 2, conclui-se que
Interpretação física: a média temporal das velocidades instantâneas é exatamente o deslocamento total dividido pelo tempo total — ou seja, a velocidade média clássica.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Suponha
, com
e
.
- Velocidade instantânea:
. - Velocidade média pela definição do deslocamento:
- Média temporal das velocidades:
Portanto
no exemplo, ilustrando a igualdade geral que provamos.
Passo 8
Observação final (útil na prova): esta igualdade vale para velocidade vetorial ou escalar com sinal (ou seja, quando se usa
com sinal, deslocamento pode cancelar partes). Se a questão pedir “velocidade média em módulo” (média das velocidades positivas, isto é, média dos módulos da velocidade ou “speed”), aí a média das grandezas
normalmente difere de
. Então atenção no enunciado entre “velocidade média” (deslocamento dividido por tempo) e “média das velocidades em módulo”.