1. Mostre que a velocidade média de um carro em um intervalo de tempo \left[t_{1}, t_{2}\right] é a mesma que a média de suas velocidades durante a viagem.

Passo 1

O enunciado dá um carro que se move ao longo de uma trajetória descrita por uma função de posição x(t) (assumir que x é diferenciável em [t_{1},t_{2}]). As informações relevantes são:
  • Há um intervalo de tempo \left[t_{1},t_{2}\right].
  • A velocidade instantânea do carro em cada tempo t é dada por v(t).
    O que o problema pede: mostrar que a velocidade média do carro no intervalo \left[t_{1},t_{2}\right] é igual à média (temporal) das suas velocidades v(t) ao longo da viagem.

Passo 2

Definir com clareza o que é “velocidade média” no sentido do enunciado. A velocidade média \bar{v} no intervalo \left[t_{1},t_{2}\right] é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo, ou seja:
\bar{v}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Explicação: x(t_{2})-x(t_{1}) é o deslocamento (variação da posição) do carro entre os instantes t_{1} e t_{2}. Dividindo pelo comprimento do intervalo temporal t_{2}-t_{1} obtém-se a velocidade média (uma medida de quanto, em média, a posição mudou por unidade de tempo).

Passo 3

Definir com clareza o que significa “média de suas velocidades durante a viagem”. A média temporal da função velocidade v(t) em [t_{1},t_{2}] é definida por
\langle v\rangle=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,dt.
Explicação: a integral \int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,dt representa a soma acumulada (área abaixo da curva v(t)) das contribuições instantâneas de velocidade ao longo do tempo; dividindo pelo comprimento do intervalo obtemos a média (média aritmética contínua no tempo).

Passo 4

Relacionar velocidade instantânea com a posição. Por definição da velocidade instantânea,
v(t)=x'(t),
onde x'(t) é a derivada de x em relação a t. Explicação: a derivada x'(t) mede a taxa de variação instantânea da posição — exatamente a velocidade naquele instante.

Passo 5

Usar a igualdade v(t)=x'(t) dentro da integral que aparece na média temporal. Considerar a integral da derivada em [t_{1},t_{2}]:
\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,dt=\int_{t_{1}}^{t_{2}} x'(t)\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (a integral da derivada de uma função contínua diferenciável no intervalo é a variação dessa função entre os extremos),
\int_{t_{1}}^{t_{2}} x'(t)\,dt = x(t_{2})-x(t_{1}).
Explicação do Teorema Fundamental do Cálculo em palavras simples: integrar a taxa de variação (a derivada) de uma grandeza ao longo de um intervalo dá a mudança total dessa grandeza nesse intervalo.

Passo 6

Substituir o resultado da integral na definição da média temporal de v. Temos:
\langle v\rangle=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,dt = \frac{1}{t_{2}-t_{1}}\bigl(x(t_{2})-x(t_{1})\bigr).
Comparando com a fórmula da velocidade média \bar{v} do Passo 2, conclui-se que
\langle v\rangle=\bar{v}.
Interpretação física: a média temporal das velocidades instantâneas é exatamente o deslocamento total dividido pelo tempo total — ou seja, a velocidade média clássica.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Suponha x(t)=3t^{2}, com t_{1}=0 e t_{2}=2.
  • Velocidade instantânea: v(t)=x'(t)=6t.
  • Velocidade média pela definição do deslocamento:
\bar{v}=\frac{x(2)-x(0)}{2-0}=\frac{12-0}{2}=6.
  • Média temporal das velocidades:
\langle v\rangle=\frac{1}{2-0}\int_{0}^{2}6t\,dt=\frac{1}{2}\bigl[3t^{2}\bigr]_{0}^{2}=\frac{1}{2}\cdot 12=6.
Portanto \bar{v}=\langle v\rangle no exemplo, ilustrando a igualdade geral que provamos.

Passo 8

Observação final (útil na prova): esta igualdade vale para velocidade vetorial ou escalar com sinal (ou seja, quando se usa x(t) com sinal, deslocamento pode cancelar partes). Se a questão pedir “velocidade média em módulo” (média das velocidades positivas, isto é, média dos módulos da velocidade ou “speed”), aí a média das grandezas |v(t)| normalmente difere de \bar{v}. Então atenção no enunciado entre “velocidade média” (deslocamento dividido por tempo) e “média das velocidades em módulo”.

Resposta

\bar{v}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,dt

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