Calcule as integrais indefinidas abaixo:
24) \int \frac{\operatorname{sec} ^{2} x}{5+3 \operatorname{tg} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{5+3\tan x}\,dx.
Dados relevantes que vamos usar (sem resolver ainda): a função tangente \tan x tem derivada \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x. Isso sugere uma substituição conveniente.

Passo 2

Sugestão de substituição: definir a nova variável
u=\tan x.
Explico por que isso é natural: a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, então ao derivar u obtemos exatamente o numerador da integral.

Passo 3

Calculemos o diferencial de u:
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Portanto a integral original em x transforma-se em uma integral em u:
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{5+3\tan x}\,dx=\int \frac{du}{5+3u}.

Passo 4

Agora resolvemos a integral elemental \displaystyle \int \frac{du}{5+3u}.
Usamos a técnica para integrar uma função do tipo \dfrac{1}{a+bu}. Uma forma direta é fazer outra substituição v=5+3u, daí dv=3\,du e du=\dfrac{dv}{3}. Assim
\int \frac{du}{5+3u}=\int \frac{1}{v}\cdot\frac{dv}{3}=\frac{1}{3}\int \frac{dv}{v}=\frac{1}{3}\ln|v|+C.
Voltando à variável u:
\int \frac{du}{5+3u}=\frac{1}{3}\ln|5+3u|+C.

Passo 5

Retornando à variável original x usando u=\tan x, obtemos a primitiva:
\frac{1}{3}\ln\bigl|5+3\tan x\bigr|+C.
Observação rápida: o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo; na integral original estamos implicitamente restritos a 5+3\tan x\neq0.

Passo 6

Verificação por diferenciação (para garantir que está correto):
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\ln|5+3\tan x|\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5+3\tan x}\cdot 3\operatorname{sec}^{2}x=\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{5+3\tan x},
que é exatamente o integrando dado.

Resposta

\dfrac{1}{3}\ln\bigl|5+3\tan x\bigr|+C

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