Dados relevantes que vamos usar (sem resolver ainda): a função tangente \tan x tem derivada \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x. Isso sugere uma substituição conveniente.
Passo 2
Sugestão de substituição: definir a nova variável
u=\tan x.
Explico por que isso é natural: a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, então ao derivar u obtemos exatamente o numerador da integral.
Passo 3
Calculemos o diferencial de u:
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Portanto a integral original em x transforma-se em uma integral em u:
Agora resolvemos a integral elemental \displaystyle \int \frac{du}{5+3u}.
Usamos a técnica para integrar uma função do tipo \dfrac{1}{a+bu}. Uma forma direta é fazer outra substituição v=5+3u, daí dv=3\,du e du=\dfrac{dv}{3}. Assim
Retornando à variável original x usando u=\tan x, obtemos a primitiva:
\frac{1}{3}\ln\bigl|5+3\tan x\bigr|+C.
Observação rápida: o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo; na integral original estamos implicitamente restritos a 5+3\tan x\neq0.
Passo 6
Verificação por diferenciação (para garantir que está correto):