- Para cada uma das funções trigonométricas inversas (arco-seno, arco-coseno e arco-tangente) desenhe um ciclo trigonométrico e indique domínio e imagem.
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das funções trigonométricas inversas — arco-seno, arco-coseno e arco-tangente — que eu:
- desenhe um ciclo trigonométrico (o círculo trigonométrico/unitário) e
- indique o domínio e a imagem (contradomínio efetivo, isto é, os valores permitidos na entrada e os valores que a função inversa devolve).
Informações dadas (ou que vamos assumir):
- O ciclo trigonométrico é o círculo de raio
centrado na origem. - As funções diretas são
, e ; as inversas são , e . - Para existir função inversa precisamos escolher um ramo (intervalo de ângulos) em que a função direta seja bijetora (um-para-um e sobrejeto sobre o conjunto de valores que queremos inverter).
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Rápida revisão do ciclo trigonométrico (o que desenhar e por quê).
- Desenhe um círculo de raio
com centro na origem . Eixos (horizontal) e (vertical). - Cada ângulo
medido a partir do eixo positivo corresponde ao ponto no círculo. - A função
associa a a coordenada vertical . A associa a coordenada horizontal . A corresponde ao quociente (no círculo também é interpretada como a inclinação da reta que passa pela origem e pelo ponto ).
Por que precisamos restringir o ângulo para definir a inversa?
- Sem restrição,
, e não são injetoras porque repetem valores para ângulos diferentes (pense em ). - Escolhemos o intervalo onde cada função é monotona (estritamente crescente ou decrescente) e cobre o conjunto de valores que queremos inverter. A escolha padrão (ramo principal) é aquela adotada em quase todos os cursos e calculadoras.
Agora vou tratar de cada inversa separadamente: como desenhar no ciclo e justificar domínio e imagem.
Passo 3
Arco-seno
. O que desenhar e porque:
- No ciclo, destaque o arco de ângulos
entre e . Este arco é a metade direita do círculo (do ponto passando por até ). - Por que esse intervalo? Porque em
a função é estritamente crescente e atinge todos os valores entre e . Uma forma rápida de ver monotonicidade: a derivada e nesse intervalo , logo aumenta ali.
Como funciona geometricamente: para um dado valorcom , trace a linha horizontal constante; ela intersecta o círculo em um ponto com coordenada vertical . Entre as duas interseções possíveis (uma na metade direita e outra na esquerda), escolhemos a interseção da metade direita — isso define no intervalo .
Conclui-se: - Domínio de
: (entrada é o valor do seno). - Imagem (valores retornados) de
: .
Exemplos úteis:, , , .
Passo 4
Arco-coseno
. O que desenhar e porque:
- No ciclo, destaque o arco de
entre e . Este é o semicírculo superior (do ponto passando por até ). - Por que esse intervalo? Porque em
a função é estritamente decrescente e assume todos os valores de até (na ordem contrária: até ). Uma forma rápida: a derivada e em temos , então , logo decresce nesse intervalo.
Como funciona geometricamente: para um dadocom , trace a linha vertical constante; ela intersecta o círculo em dois pontos (um superior e um inferior). A definição principal de escolhe o ponto do semicírculo superior, e o ângulo correspondente é .
Conclui-se: - Domínio de
: . - Imagem de
: .
Exemplos úteis:, , .
Passo 5
Arco-tangente
. O que desenhar e porque:
- No círculo, a tangente
pode ser vista como a inclinação (slope) da reta que une a origem ao ponto . Para essa reta tem inclinação real variando por todo . - Por que escolhemos
? Porque é estritamente crescente e contínua nesse intervalo e tem limites quando (assíntotas verticais dos gráficos). A derivada onde definida, então é crescente na região onde está definida.
Geometricamente: para um número realdado, a reta que passa pela origem com inclinação forma um ângulo com o eixo ; esse ângulo é e fica em . Diferentemente de e , a entrada (domínio) de é todo porque atinge todos os números reais nesse ramo.
Conclui-se: - Domínio de
: (todos os reais). - Imagem de
: (intervalo aberto porque tende a nas fronteiras).
Exemplos úteis:, , .
Passo 6
Como desenhar resumidamente (guia prático para a prova — faça isso no papel):
- Desenhe o círculo unitário e marque os eixos. Marque pontos importantes:
como , como , como , como . - Para
: pinte o arco da metade direita . Para um dado entre e , trace horizontal e escolha a interseção direita — o ângulo é . - Para
: pinte o semicírculo superior . Para um dado entre e , trace vertical e escolha a interseção superior — o ângulo é . - Para
: desenhe retas com várias inclinações atravessando a origem; a inclinação corresponde a no intervalo . Em provas, desenhe uma reta com inclinação e meça o ângulo com o eixo para visualizar .
Dica de memorização curta:
-
escolhe a metade direita (imagem ). -
escolhe o semicírculo superior (imagem ). -
escolhe o ramo entre e (imagem aberta).
Resposta
arcsin: Domínio
, Imagem
arccos: Domínio , Imagem
arctan: Domínio , Imagem
arccos: Domínio
arctan: Domínio