1. Para cada uma das funções trigonométricas inversas (arco-seno, arco-coseno e arco-tangente) desenhe um ciclo trigonométrico e indique domínio e imagem.

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das funções trigonométricas inversas — arco-seno, arco-coseno e arco-tangente — que eu:
  • desenhe um ciclo trigonométrico (o círculo trigonométrico/unitário) e
  • indique o domínio e a imagem (contradomínio efetivo, isto é, os valores permitidos na entrada e os valores que a função inversa devolve).
Informações dadas (ou que vamos assumir):
  • O ciclo trigonométrico é o círculo de raio 1 centrado na origem.
  • As funções diretas são \sin, \cos e \tan; as inversas são \arcsin, \operatorname{arccos} e \arctan.
  • Para existir função inversa precisamos escolher um ramo (intervalo de ângulos) em que a função direta seja bijetora (um-para-um e sobrejeto sobre o conjunto de valores que queremos inverter).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Rápida revisão do ciclo trigonométrico (o que desenhar e por quê).
  • Desenhe um círculo de raio 1 com centro na origem (0,0). Eixos x (horizontal) e y (vertical).
  • Cada ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x corresponde ao ponto (\cos\theta,\sin\theta) no círculo.
  • A função \sin associa a \theta a coordenada vertical y=\sin\theta. A \cos associa a coordenada horizontal x=\cos\theta. A \tan corresponde ao quociente \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} (no círculo também é interpretada como a inclinação da reta que passa pela origem e pelo ponto (\cos\theta,\sin\theta)).
Por que precisamos restringir o ângulo para definir a inversa?
  • Sem restrição, \sin, \cos e \tan não são injetoras porque repetem valores para ângulos diferentes (pense em \sin(\pi/6)=\sin(5\pi/6)).
  • Escolhemos o intervalo onde cada função é monotona (estritamente crescente ou decrescente) e cobre o conjunto de valores que queremos inverter. A escolha padrão (ramo principal) é aquela adotada em quase todos os cursos e calculadoras.
Agora vou tratar de cada inversa separadamente: como desenhar no ciclo e justificar domínio e imagem.

Passo 3

Arco-seno \arcsin. O que desenhar e porque:
  • No ciclo, destaque o arco de ângulos \theta entre -\dfrac{\pi}{2} e \dfrac{\pi}{2}. Este arco é a metade direita do círculo (do ponto (0,-1) passando por (1,0) até (0,1)).
  • Por que esse intervalo? Porque em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] a função \sin é estritamente crescente e atinge todos os valores entre -1 e 1. Uma forma rápida de ver monotonicidade: a derivada \dfrac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta e nesse intervalo \cos\theta\ge 0, logo \sin aumenta ali.
    Como funciona geometricamente: para um dado valor y com -1\le y\le 1, trace a linha horizontal y= constante; ela intersecta o círculo em um ponto com coordenada vertical y. Entre as duas interseções possíveis (uma na metade direita e outra na esquerda), escolhemos a interseção da metade direita — isso define \theta=\arcsin(y) no intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
    Conclui-se:
  • Domínio de \arcsin: \;[-1,1] (entrada é o valor do seno).
  • Imagem (valores retornados) de \arcsin: \;\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
    Exemplos úteis: \arcsin(0)=0, \arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{6}, \arcsin(1)=\dfrac{\pi}{2}, \arcsin(-1)=-\dfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Arco-coseno \operatorname{arccos}. O que desenhar e porque:
  • No ciclo, destaque o arco de \theta entre 0 e \pi. Este é o semicírculo superior (do ponto (1,0) passando por (0,1) até (-1,0)).
  • Por que esse intervalo? Porque em [0,\pi] a função \cos é estritamente decrescente e assume todos os valores de -1 até 1 (na ordem contrária: \cos 0=1 até \cos\pi=-1). Uma forma rápida: a derivada \dfrac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta e em [0,\pi] temos \sin\theta\ge 0, então -\sin\theta\le 0, logo \cos decresce nesse intervalo.
    Como funciona geometricamente: para um dado x com -1\le x\le 1, trace a linha vertical x= constante; ela intersecta o círculo em dois pontos (um superior e um inferior). A definição principal de \operatorname{arccos}(x) escolhe o ponto do semicírculo superior, e o ângulo correspondente \theta\in[0,\pi] é \operatorname{arccos}(x).
    Conclui-se:
  • Domínio de \operatorname{arccos}: \;[-1,1].
  • Imagem de \operatorname{arccos}: \;[0,\pi].
    Exemplos úteis: \operatorname{arccos}(1)=0, \operatorname{arccos}(0)=\dfrac{\pi}{2}, \operatorname{arccos}(-1)=\pi.

Passo 5

Arco-tangente \arctan. O que desenhar e porque:
  • No círculo, a tangente \tan\theta pode ser vista como a inclinação (slope) da reta que une a origem ao ponto (\cos\theta,\sin\theta). Para \theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) essa reta tem inclinação real variando por todo \mathbb{R}.
  • Por que escolhemos \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)? Porque \tan é estritamente crescente e contínua nesse intervalo e tem limites \tan\theta\to\pm\infty quando \theta\to\pm\dfrac{\pi}{2} (assíntotas verticais dos gráficos). A derivada \dfrac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta>0 onde definida, então \tan é crescente na região onde está definida.
    Geometricamente: para um número real t dado, a reta que passa pela origem com inclinação t forma um ângulo \theta com o eixo x; esse ângulo é \arctan(t) e fica em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Diferentemente de \sin e \cos, a entrada (domínio) de \arctan é todo \mathbb{R} porque \tan atinge todos os números reais nesse ramo.
    Conclui-se:
  • Domínio de \arctan: \;\mathbb{R} (todos os reais).
  • Imagem de \arctan: \;\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) (intervalo aberto porque \tan\theta tende a \pm\infty nas fronteiras).
    Exemplos úteis: \arctan(0)=0, \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}, \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}.

Passo 6

Como desenhar resumidamente (guia prático para a prova — faça isso no papel):
  • Desenhe o círculo unitário e marque os eixos. Marque pontos importantes: (1,0) como 0, (0,1) como \dfrac{\pi}{2}, (-1,0) como \pi, (0,-1) como -\dfrac{\pi}{2}.
  • Para \arcsin: pinte o arco da metade direita \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]. Para um y dado entre -1 e 1, trace horizontal e escolha a interseção direita — o ângulo é \arcsin(y).
  • Para \operatorname{arccos}: pinte o semicírculo superior \theta\in[0,\pi]. Para um x dado entre -1 e 1, trace vertical e escolha a interseção superior — o ângulo é \operatorname{arccos}(x).
  • Para \arctan: desenhe retas com várias inclinações atravessando a origem; a inclinação t corresponde a \theta=\arctan(t) no intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Em provas, desenhe uma reta com inclinação t e meça o ângulo com o eixo x para visualizar \arctan(t).
Dica de memorização curta:
  • \arcsin escolhe a metade direita (imagem \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]).
  • \operatorname{arccos} escolhe o semicírculo superior (imagem [0,\pi]).
  • \arctan escolhe o ramo entre -\dfrac{\pi}{2} e \dfrac{\pi}{2} (imagem aberta).

Resposta

arcsin: Domínio \;[-1,1], Imagem \;\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]
arccos: Domínio \;[-1,1], Imagem \;[0,\pi]
arctan: Domínio \;\mathbb{R}, Imagem \;\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)

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