Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais? Justifique!
a) O conjunto dos vetores do R^n cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
S = (x1,x2,dots,xn)inR^nmid x1,x2,dots,xn formam uma progressão aritmética ãé
é subespaço de R^n.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço vetorial, que exige verificar:
  1. 0in S.
  2. Se u,vin S então u+vin S.
  3. Se uin S e lambdainR então lambdauin S.

Passo 2

Verificação de 0in S.
O vetor nulo é 0=(0,0,dots,0). Suas coordenadas formam progressão aritmética de razão 0, pois 0-0=0. Logo
0in S

Passo 3

Fechamento em relação à soma.
Sejam u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn) em S. Então existem razões du e dv tais que
ui+1-ui=du, vi+1-vi=dv (forall i=1,dots,n-1)
No vetor soma u+v temos para cada i:
(ui+1+vi+1) - (ui+vi) =(ui+1-ui) + (vi+1-vi) = du+dv,
que é constante. Portanto u+v tem coordenadas em progressão aritmética de razão du+dv, isto é, u+vin S.

Passo 4

Fechamento em relação a escalar.
Se u=(u1,dots,un)in S com razão du e lambdainR, então no vetor lambdau vale
(lambda ui+1) - (lambda ui) =lambda,(ui+1-ui) =lambda,du,
constante. Logo lambdau forma progressão aritmética de razão lambda du, ou seja, lambdauin S.

Resposta

O conjunto dos vetores cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é de fato um subespaço vetorial de R^n.

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