Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais? Justifique!
a) O conjunto dos vetores do
cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.
a) O conjunto dos vetores do
Passo 1
O enunciado pede para decidir se
é subespaço de
.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço vetorial, que exige verificar:
Para isso, vamos usar o critério de subespaço vetorial, que exige verificar:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Verificação de
.
O vetor nulo é . Suas coordenadas formam progressão aritmética de razão
, pois
. Logo
O vetor nulo é
Passo 3
Fechamento em relação à soma.
Sejam e
em
. Então existem razões
e
tais que
Sejam
No vetor soma
temos para cada
:
que é constante. Portanto
tem coordenadas em progressão aritmética de razão
, isto é,
.
Passo 4
Fechamento em relação a escalar.
Se com razão
e
, então no vetor
vale
Se
constante. Logo
forma progressão aritmética de razão
, ou seja,
.
Resposta
O conjunto dos vetores cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é de fato um subespaço vetorial de
.