Responda os seguintes itens:
  • B é uma forma bilinear?
  • Determinar a matriz da forma bilinear B.
  • B é uma forma bilinear Simétrica.
  • A matriz da forma bilinear B é simétrica?
  • Determine todos os autovalores da matriz associada a forma bilinear B.
    em que a aplicação
    B: \mathbb{C}^{2} \times \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C} está dada por
B\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=x_{1} x_{2}-2 y_{1} y_{2}
e a base de \mathbb{C}^{2} dada por A=\{(1,0),(1+i, 0),(0,2),(0,2 i)\}).

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede:
    1. Verificar se B é uma forma bilinear.
    2. Determinar a matriz da forma bilinear B na base A.
    3. Verificar se B é simétrica (isto é, B(u,v)=B(v,u) para todos os vetores).
    4. Verificar se a matriz associada é simétrica.
    5. Determinar todos os autovalores da matriz associada.
  • Informação dada (peguei tudo do enunciado):
    • A aplicação B:\mathbb{C}^{2}\times\mathbb{C}^{2}\to\mathbb{C} é B\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr)=x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}.
    • A base A de \mathbb{C}^{2} é A=\{e_{1}=(1,0),\; e_{2}=(1+i,0),\; e_{3}=(0,2),\; e_{4}=(0,2i)\}.

Passo 2

O que significa ser forma bilinear (explicação didática curta e direta):
  • Uma aplicação B:V\times V\to\mathbb{C} é bilinear quando é linear em cada argumento, isto é, para quaisquer vetores u,v,w\in V e quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathbb{C} vale B(\alpha u+\beta v,w)=\alpha B(u,w)+\beta B(v,w)e B(w,\alpha u+\beta v)=\alpha B(w,u)+\beta B(w,v).
  • Linearidade em cada componente é testada usando multiplicação por escalar e soma.
Agora verifico linearidade diretamente usando a fórmula dada para B.
Se u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}) e \gamma\in\mathbb{C}, então
B(\gamma u,v)=B\bigl((\gamma x_{1},\gamma y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr) =(\gamma x_{1})x_{2}-2(\gamma y_{1})y_{2} =\gamma\bigl(x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}\bigr) =\gamma B(u,v).
Analogamente,
B(u,\gamma v)=B\bigl((x_{1},y_{1}),(\gamma x_{2},\gamma y_{2})\bigr) =x_{1}(\gamma x_{2})-2y_{1}(\gamma y_{2}) =\gamma B(u,v).
E a soma se verifica pelo desenvolvimento linear das parcelas. Logo a aplicação B é linear em cada argumento; portanto B é uma forma bilinear sobre \mathbb{C}.

Passo 3

Como se obtém a matriz de uma forma bilinear numa base (mini-aula aplicada):
  • Se A=\{e_{1},\dots,e_{n}\} é uma base de V, a matriz M de B nessa base tem entradas M_{jk}=B(e_{j},e_{k}),\qquad j,k=1,\dots,n.
  • Ou seja, cada entrada é simplesmente o valor da forma aplicada a um par de vetores da base.
Vou calcular todas as entradas M_{jk}=B(e_{j},e_{k}) usando os vetores da base A.
Primeiro, noto as componentes dos vetores:
e_{1}=(1,0),\quad e_{2}=(1+i,0),\quad e_{3}=(0,2),\quad e_{4}=(0,2i).
Calculemos sistematicamente (cada cálculo é direto pela fórmula x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}):
  • Entradas envolvendo e_{1}: B(e_{1},e_{1})=1\cdot 1-2\cdot 0\cdot 0=1.
B(e_{1},e_{2})=1\cdot(1+i)-2\cdot 0\cdot 0=1+i.
B(e_{1},e_{3})=1\cdot 0-2\cdot 0\cdot 2=0.
B(e_{1},e_{4})=1\cdot 0-2\cdot 0\cdot 2i=0.
  • Entradas envolvendo e_{2}: B(e_{2},e_{1})=(1+i)\cdot 1-2\cdot 0\cdot 0=1+i.
B(e_{2},e_{2})=(1+i)(1+i)-2\cdot 0\cdot 0=(1+i)^{2}=2i.
B(e_{2},e_{3})=(1+i)\cdot 0-2\cdot 0\cdot 2=0.
B(e_{2},e_{4})=(1+i)\cdot 0-2\cdot 0\cdot 2i=0.
  • Entradas envolvendo e_{3}: B(e_{3},e_{1})=0\cdot 1-2\cdot 2\cdot 0=0.
B(e_{3},e_{2})=0\cdot(1+i)-2\cdot 2\cdot 0=0.
B(e_{3},e_{3})=0\cdot 0-2\cdot 2\cdot 2=-8.
B(e_{3},e_{4})=0\cdot 0-2\cdot 2\cdot 2i=-8i.
  • Entradas envolvendo e_{4}: B(e_{4},e_{1})=0\cdot 1-2\cdot 2i\cdot 0=0.
B(e_{4},e_{2})=0\cdot(1+i)-2\cdot 2i\cdot 0=0.
B(e_{4},e_{3})=0\cdot 0-2\cdot 2i\cdot 2=-8i.
B(e_{4},e_{4})=0\cdot 0-2\cdot 2i\cdot 2i=-2\cdot(2i)(2i)=-2\cdot 4i^{2}=8.

Passo 4

Agora escrevo a matriz completa M da forma B na base A (organizada na ordem e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}):
M= \begin{pmatrix} 1 & 1+i & 0 & 0\\[4pt] 1+i & 2i & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -8 & -8i\\[4pt] 0 & 0 & -8i & 8 \end{pmatrix}.
Observação prática: a matriz tem estrutura em blocos (os dois primeiros vetores envolvem as componentes x e os dois últimos as componentes y), por isso aparece um bloco 2\times 2 no canto superior esquerdo e outro no inferior direito, com zeros nas posições mistas.]

Passo 5

Verificação de simetria da forma B (explicação didática):
  • A forma B é dada por B\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr)=x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}. Se permutarmos os argumentos obtemos
    B\bigl((x_{2},y_{2}),(x_{1},y_{1})\bigr)=x_{2}x_{1}-2y_{2}y_{1}=x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}=B\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr).
    Portanto B(u,v)=B(v,u) para todos u,v: a forma é simétrica.
  • Pela definição da matriz em base, isso implica M_{jk}=B(e_{j},e_{k})=B(e_{k},e_{j})=M_{kj}. Conferindo com a matriz calculada verifica-se que M^{T}=M. Logo a matriz também é simétrica (no sentido transposto igual).
Importante comentar (didaticamente): em espaços sobre \mathbb{C} existe também a noção de forma hermitiana (que usa conjugação em um dos argumentos); aqui estamos trabalhando com bilinear (sem conjugação) e com simetria B(u,v)=B(v,u), não com hermiticidade.

Passo 6

Cálculo dos autovalores da matriz M (passo a passo e dica prática):
  • Como M é blocada em dois blocos 2\times 2 (superior esquerdo e inferior direito) e zeros fora deles, os autovalores de M são a reunião dos autovalores dos dois blocos 2\times 2.
Bloco superior esquerdo:
M_{x}=\begin{pmatrix}1 & 1+i\\[2pt]1+i & 2i\end{pmatrix}.
O traço é \operatorname{tr}(M_{x})=1+2i. O determinante é
\det(M_{x})=1\cdot 2i-(1+i)^{2}=2i-(1+2i+i^{2})=2i-(1+2i-1)=0.
(Observação do cálculo: (1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i.)
Como \det(M_{x})=0, um autovalor é \lambda=0. O outro autovalor é dado por \operatorname{tr}(M_{x}) (porque soma dos autovalores = traço), logo
\lambda_{1}=0,\qquad \lambda_{2}=1+2i.
Bloco inferior direito:
M_{y}=\begin{pmatrix}-8 & -8i\\[2pt]-8i & 8\end{pmatrix}.
O traço é \operatorname{tr}(M_{y})=-8+8=0. O determinante é
\det(M_{y})=(-8)\cdot 8-(-8i)(-8i)=-64-64i^{2}=-64-64(-1)=0.
Como \operatorname{tr}(M_{y})=0 e \det(M_{y})=0, a equação característica é \lambda^{2}=0, portanto ambos os autovalores deste bloco são \lambda=0 (com multiplicidade algébrica 2 no bloco).
  • Reunindo tudo: os autovalores de M são \lambda=1+2i (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=0 (multiplicidade algébrica 3).]

Resposta

Sim.
\begin{pmatrix} 1 & 1+i & 0 & 0\\[4pt] 1+i & 2i & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -8 & -8i\\[4pt] 0 & 0 & -8i & 8 \end{pmatrix}
Sim.
Sim.
\lambda=1+2i (multiplicidade 1); \lambda=0 (multiplicidade 3).]

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