Determine todos os autovalores da matriz associada a forma bilinear B.
em que a aplicação B: \mathbb{C}^{2} \times \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C} está dada por
e a base de \mathbb{C}^{2} dada por A=\{(1,0),(1+i, 0),(0,2),(0,2 i)\}).
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e o que foi dado.
O enunciado pede:
Verificar se B é uma forma bilinear.
Determinar a matriz da forma bilinear B na base A.
Verificar se B é simétrica (isto é, B(u,v)=B(v,u) para todos os vetores).
Verificar se a matriz associada é simétrica.
Determinar todos os autovalores da matriz associada.
Informação dada (peguei tudo do enunciado):
A aplicação B:\mathbb{C}^{2}\times\mathbb{C}^{2}\to\mathbb{C} éB\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr)=x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}.
A base A de \mathbb{C}^{2} éA=\{e_{1}=(1,0),\; e_{2}=(1+i,0),\; e_{3}=(0,2),\; e_{4}=(0,2i)\}.
Passo 2
O que significa ser forma bilinear (explicação didática curta e direta):
Uma aplicação B:V\times V\to\mathbb{C} é bilinear quando é linear em cada argumento, isto é, para quaisquer vetores u,v,w\in V e quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathbb{C} valeB(\alpha u+\beta v,w)=\alpha B(u,w)+\beta B(v,w)eB(w,\alpha u+\beta v)=\alpha B(w,u)+\beta B(w,v).
Linearidade em cada componente é testada usando multiplicação por escalar e soma.
Agora verifico linearidade diretamente usando a fórmula dada para B.
Se u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}) e \gamma\in\mathbb{C}, então
E a soma se verifica pelo desenvolvimento linear das parcelas. Logo a aplicação B é linear em cada argumento; portanto B é uma forma bilinear sobre \mathbb{C}.
Passo 3
Como se obtém a matriz de uma forma bilinear numa base (mini-aula aplicada):
Se A=\{e_{1},\dots,e_{n}\} é uma base de V, a matriz M de B nessa base tem entradasM_{jk}=B(e_{j},e_{k}),\qquad j,k=1,\dots,n.
Ou seja, cada entrada é simplesmente o valor da forma aplicada a um par de vetores da base.
Vou calcular todas as entradas M_{jk}=B(e_{j},e_{k}) usando os vetores da base A.
Observação prática: a matriz tem estrutura em blocos (os dois primeiros vetores envolvem as componentes x e os dois últimos as componentes y), por isso aparece um bloco 2\times 2 no canto superior esquerdo e outro no inferior direito, com zeros nas posições mistas.]
Passo 5
Verificação de simetria da forma B (explicação didática):
A forma B é dada por B\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr)=x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}. Se permutarmos os argumentos obtemos
Portanto B(u,v)=B(v,u) para todos u,v: a forma é simétrica.
Pela definição da matriz em base, isso implica M_{jk}=B(e_{j},e_{k})=B(e_{k},e_{j})=M_{kj}. Conferindo com a matriz calculada verifica-se que M^{T}=M. Logo a matriz também é simétrica (no sentido transposto igual).
Importante comentar (didaticamente): em espaços sobre \mathbb{C} existe também a noção de forma hermitiana (que usa conjugação em um dos argumentos); aqui estamos trabalhando com bilinear (sem conjugação) e com simetria B(u,v)=B(v,u), não com hermiticidade.
Passo 6
Cálculo dos autovalores da matriz M (passo a passo e dica prática):
Como M é blocada em dois blocos 2\times 2 (superior esquerdo e inferior direito) e zeros fora deles, os autovalores de M são a reunião dos autovalores dos dois blocos 2\times 2.
(Observação do cálculo: (1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i.)
Como \det(M_{x})=0, um autovalor é \lambda=0. O outro autovalor é dado por \operatorname{tr}(M_{x}) (porque soma dos autovalores = traço), logo
Como \operatorname{tr}(M_{y})=0 e \det(M_{y})=0, a equação característica é \lambda^{2}=0, portanto ambos os autovalores deste bloco são \lambda=0 (com multiplicidade algébrica 2 no bloco).
Reunindo tudo: os autovalores de M são \lambda=1+2i (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=0 (multiplicidade algébrica 3).]