Seja (an)n in N uma sequência tal que
n-12 n <= an <= raizn^2+14 n^2, para todo n in N
O limite lim n infty an existe? Se sim, qual seu valor?
(Indique o nome do teorema que você usar na sua justificativa.)

Passo 1

Em resumo, a sequência (an) satisfaz
n-12n<= an<= raizn^2+14n^2,
e queremos encontrar limntoinftyan. Para isso vamos usar limites de sequências e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Vamos calcular o limite da sequência inferior:
n-12n=1-1n2
Como limntoinfty1n=0, segue que
limntoinftyn-12n=1-02=12

Passo 3

Agora calculamos o limite da sequência superior:
raizn^2+14n^2=12raiz1+1n^2
Como limntoinftytfrac1n^2=0 implica limntoinftyraiz1+1/n^2=1, concluímos
limntoinftyraizn^2+14n^2=12

Passo 4

Temos então
n-12n<= an<= raizn^2+14n^2
e ambos os limites das sequências extremas são 1/2. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto) segue que
limntoinftyan=12

Resposta

tfrac12

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