Mostre que os vetores e1^t=(1,0,0), e2^t=(0,1,0), e3^t=(0,0,1) formam uma base do R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores e1^t=(1,0,0), e2^t=(0,1,0) e e3^t=(0,0,1) formam uma base de R^3. O conteúdo aqui é conceito de base em espaços vetoriais: precisamos verificar que esses vetores são linearmente independentes e que geram R^3.

Passo 2

Para provar a independência linear, considere uma combinação linear nula:
c1e1 + c2e2 + c3e3 = (0,0,0)
Escrevendo em coordenadas, isso dá
(c1, c2, c3) = (0,0,0)
Logo, c1 = c2 = c3 = 0. Como a única combinação que gera o vetor nulo é trivial, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Para mostrar que eles geram R^3, tome qualquer vetor arbitrário (x,y,z) in R^3. Podemos escrevê-lo como
(x,y,z) = xe1 + ye2 + ze3
Como todo vetor de R^3 se expressa assim, esses vetores geram o espaço.

Resposta

Como os vetores são linearmente independentes e geram todo o R^3, eles formam uma base de R^3.

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