Mostre que os vetores
formam uma base do
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores
,
e
formam uma base de
. O conteúdo aqui é conceito de base em espaços vetoriais: precisamos verificar que esses vetores são linearmente independentes e que geram
.
Passo 2
Para provar a independência linear, considere uma combinação linear nula:
Escrevendo em coordenadas, isso dá
Logo,
. Como a única combinação que gera o vetor nulo é trivial, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Para mostrar que eles geram
, tome qualquer vetor arbitrário
. Podemos escrevê-lo como
Como todo vetor de
se expressa assim, esses vetores geram o espaço.
Resposta
Como os vetores são linearmente independentes e geram todo o
, eles formam uma base de
.