Mostre que os vetores u, v, w são coplanares se, e somente se, um deles é combinação linear dos outros dois.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, em R^3, três vetores u,v,w são coplanares (isto é, pertencem a um mesmo plano que passa pela origem) se, e somente se, um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Vamos usar os conceitos de subespaço gerado, dimensão e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, mostremos que se um dos vetores for combinação linear dos outros dois, então eles são coplanares. Suponha, sem perda de generalidade, que existam escalares alpha,beta tais que
w = alpha,u + beta,v
Então w pertence ao subespaço spanu,v. Mas spanu,v é um subespaço de dimensão no máximo 2, ou seja, um plano através da origem. Logo u,v,w estão todos nesse mesmo plano, isto é, são coplanares.

Passo 3

Agora, mostremos a recíproca: se u,v,w são coplanares, então um deles é combinação linear dos outros dois. Coplanaridade significa que
diml(spanu,v,wr);<=2
Isso implica que u,v,w é um conjunto linearmente dependente. Pela definição de dependência linear, existem escalares não todos nulos lambda,mu,nu tais que
lambda,u + mu,v + nu,w = 0
Como nem todos são zero, podemos isolar o vetor cujo coeficiente é diferente de zero. Por exemplo, se nuneq0, então
w = -lambdanu,u ;-;munu,v,
mostrando que w é combinação linear de u e v. Se, em vez disso, lambdaneq0 ou muneq0, o raciocínio é análogo para expressar u ou v como combinação dos outros dois.

Resposta

Concluímos que u,v,w são coplanares se, e somente se, um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.

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