Mostre que os vetores
são coplanares se, e somente se, um deles é combinação linear dos outros dois.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, em
, três vetores
são coplanares (isto é, pertencem a um mesmo plano que passa pela origem) se, e somente se, um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Vamos usar os conceitos de subespaço gerado, dimensão e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, mostremos que se um dos vetores for combinação linear dos outros dois, então eles são coplanares. Suponha, sem perda de generalidade, que existam escalares
tais que
Então
pertence ao subespaço
. Mas
é um subespaço de dimensão no máximo 2, ou seja, um plano através da origem. Logo
estão todos nesse mesmo plano, isto é, são coplanares.
Passo 3
Agora, mostremos a recíproca: se
são coplanares, então um deles é combinação linear dos outros dois. Coplanaridade significa que
Isso implica que
é um conjunto linearmente dependente. Pela definição de dependência linear, existem escalares não todos nulos
tais que
Como nem todos são zero, podemos isolar o vetor cujo coeficiente é diferente de zero. Por exemplo, se
, então
mostrando que
é combinação linear de
e
. Se, em vez disso,
ou
, o raciocínio é análogo para expressar
ou
como combinação dos outros dois.
Resposta
Concluímos que
são coplanares se, e somente se, um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.