Nos exercícios de 1 a 7 determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os números reais positivos, com a adição oplus definida por x oplus y= x y, e a multiplicação por escalar odot definida por c odot x=x^c.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto V=xinRmid x>0 com as operações
xoplus y = x,y, codot x = x^c,
e pede para verificar se (V,oplus,odot) é um espaço vetorial sobre o corpo R. Para isso precisamos checar que (V,oplus) é um grupo abeliano e que as operações de escalar satisfazem os axiomas de distribuição, compatibilidade e identidade.

Passo 2

Verificamos que (V,oplus) é grupo abeliano:
  1. Fechamento: se x>0 e y>0, então
xoplus y = x,y > 0,
logo xoplus yin V.
2. Associatividade: para x,y,z>0,
xoplus(yoplus z) = x,(y,z) = (x,y),z = (xoplus y)oplus z
  1. Elemento neutro: 1>0 e
xoplus1 = xcdot1 = x,
logo 1 é o neutro.
4. Inverso: para cada x>0 existe x^-1=1/x>0 tal que
xoplus x^-1 = xcdot1x = 1
  1. Comutatividade:
xoplus y = x,y = y,x = yoplus x

Passo 3

Fechamento da multiplicação por escalar: dado cinR e x>0, define-se
codot x = x^c = expl(cln xr)>0,
logo codot xin V.

Passo 4

Verificação dos axiomas restantes:
codot(xoplus y) = (x,y)^c = x^c,y^c = (codot x)oplus(codot y)
(c+d)odot x = x^,c+d = x^c,x^d = (codot x)oplus(dodot x)
(cd)odot x = x^,cd = l(x^cr)^d = dodot(codot x)
1odot x = x^1 = x

Passo 5

Como todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos, concluímos que (V,oplus,odot) é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto de reais positivos com as operações dadas é um espaço vetorial sobre R.

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