Nos exercícios de 1 a 7 determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os números reais positivos, com a adição
definida por
, e a multiplicação por escalar
definida por
.
O conjunto de todos os números reais positivos, com a adição
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com as operações
e pede para verificar se
é um espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso precisamos checar que
é um grupo abeliano e que as operações de escalar satisfazem os axiomas de distribuição, compatibilidade e identidade.
Passo 2
Verificamos que
é grupo abeliano:
- Fechamento: se
e , então
logo
.
2. Associatividade: para ,
2. Associatividade: para
- Elemento neutro:
e
logo
é o neutro.
4. Inverso: para cada existe
tal que
4. Inverso: para cada
- Comutatividade:
Passo 3
Fechamento da multiplicação por escalar: dado
e
, define-se
logo
.
Passo 4
Verificação dos axiomas restantes:
Passo 5
Como todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto de reais positivos com as operações dadas é um espaço vetorial sobre
.