1. Mostre que os vetores u=(1,2,1), v=(1,1,2), e w=(1,2,2) são linearmente independentes e escreva t=(3,5,1) como combinação linear de u, v e w.
Solução: Segue da Proposição 3.38 que os vetores u, v, w serão L.I se, e somente se, A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 2\end{array}\right) for inversível.
[Vamos lembrar o argumento:
\begin{gathered} u=(1,2,1), v=(1,1,2) \text { e } w=(1,2,2) \quad \text { são L.I. } \\\ \Leftrightarrow a u+b v+c w=0 \quad \text { só é possível com } a=b=c=0 \\\ \Leftrightarrow \quad a(1,2,1)+b(1,1,2)+c(1,2,2)=(0,0,0) \quad \text { só é possível com } a=b=c=0 \\\ \Leftrightarrow \quad\left\{\begin{array}{c} a+b+c=0 \\\\ 2 a+b+2 c=0 \\\ a+2 b+2 c=0 \end{array} \quad \text { tem solução única } a=b=c=0\right. \\\ \Leftrightarrow \quad\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right) \text { é inversível.] } \end{gathered}ãóéíóéíçãúéí
Vamos então mostrar que A é inversível, mostrando que A \sim I_{3} :
\begin{gathered} \left(\begin{array}{lll|lll} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_{L_{3} \rightarrow L_{3}-L_{1}}^{L_{2} \rightarrow L_{2}-2 L_{1}}\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \\\ \sim_{L_{3} \rightarrow L_{3}+L_{2}}^{L_{1} \rightarrow L_{1}+L_{2}}\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & 1 \end{array}\right) \sim_{L_{2} \rightarrow-L_{2}}^{L_{1} \rightarrow L_{1}-L_{3}}\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{gathered}
Então A \sim I_{3}, logo é inversível, e sua inversa é A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & -1 \\\\ 2 & -1 & 0 \\\\ -3 & 1 & 1\end{array}\right). Portanto u, v e w são L.I.
Para escrever t=(3,5,1) como combinação linear de u, v e w, queremos encontrar a, b, c \in \mathbb{R} tais que a u+b v+c w=t. Temos que
\begin{aligned} a u+b v+c w=t & \Leftrightarrow a(1,2,1)+b(1,1,2)+c(1,2,2)=(3,5,1) \\\ & \Leftrightarrow\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} a \\\ b \\\ c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 3 \\\\ 5 \\\\ 1 \end{array}\right) \end{aligned}
A matriz dos coeficientes do sistema linear matricial acima é a matriz A, cujas colunas são as coordenadas dos vetores u, v e w. Como mostramos acima, A é inversível. Logo o sistema linear matricial acima tem solução única dada por X=A^{-1} B.
[ Vamos lembrar o argumento: para A inversível,
\left.A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B .\right]
Então
\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} a \\\ b \\\ c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 3 \\\\ 5 \\\\ 1 \end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{l} a \\\ b \\\ c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & -1 \\\\ 2 & -1 & 0 \\\\ -3 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 3 \\\\ 5 \\\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 5 \\\\ 1 \\\\ -3 \end{array}\right)
Portanto, temos que
t=a u+b v+c w=5 u+v-3 w

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que os vetores u=(1,2,1), v=(1,1,2) e w=(1,2,2) são linearmente independentes; e escrever t=(3,5,1) como combinação linear de u, v e w.
Dados relevantes: os próprios vetores u=(1,2,1), v=(1,1,2), w=(1,2,2) e o vetor alvo t=(3,5,1).

Passo 2

O que significa “linearmente independentes”? Vou explicar com calma. Dizemos que três vetores u,v,w são linearmente independentes se a única solução do sistema
a\,u + b\,v + c\,w = (0,0,0)
for a=b=c=0. Escrever isso em coordenadas dá um sistema linear para a,b,c. Colocando as colunas como os vetores, obtemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 2 \\[4pt] 1 & 2 & 2\end{pmatrix},
cuja propriedade chave é: se \det(A)\neq 0 então A é inversível e, portanto, as colunas (os vetores u,v,w) são linearmente independentes. Vou usar essa ideia porque é rápida e direta.]

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A. Uso a expansão por cofatores na primeira linha:
\det(A)= 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2×2:
\det\!\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-2\cdot2=2-4=-2,
\det\!\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-2\cdot1=4-2=2,
\det\!\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot1=4-1=3.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot(-2)-1\cdot(2)+1\cdot(3)=-2-2+3=-1.
Como \det(A)=-1\neq 0, concluímos que A é inversível e, portanto, as colunas de A, que são u,v,w, são linearmente independentes.]

Passo 4

Agora a segunda parte: escrever t=(3,5,1) como combinação linear. Queremos a,b,c tais que
a\,u+b\,v+c\,w=t.
Em coordenadas isso é o sistema linear
\begin{cases} a+b+c=3,\\[4pt] 2a+b+2c=5,\\[4pt] a+2b+2c=1. \end{cases}
Vou resolver esse sistema de forma direta (eliminação por substituição), passo a passo.]

Passo 5

Primeiro subtraio a primeira equação da segunda e da terceira para reduzir o sistema:
Da segunda menos a primeira:
(2a+b+2c)-(a+b+c)=a+c=5-3=2 \quad\Rightarrow\quad a+c=2.
Da terceira menos a primeira:
(a+2b+2c)-(a+b+c)=b+c=1-3=-2 \quad\Rightarrow\quad b+c=-2.

Passo 6

Agora expressamos c e b em função de a. Da equação a+c=2 temos
c=2-a.
Da equação b+c=-2 obtemos
b=-2-c.
Substituindo c=2-a em b:
b=-2-(2-a)=-4+a.

Passo 7

Substituo b e c na primeira equação a+b+c=3:
a + ( -4 + a ) + (2 - a) = 3.
Agora faço as contas com calma:
a -4 + a +2 - a = 3 \quad\Rightarrow\quad (a + a - a) + (-4+2) = 3,
a -2 = 3 \quad\Rightarrow\quad a=5.

Passo 8

Com a=5 volto para c=2-a e b=-4+a:
c=2-5=-3,\qquad b=-4+5=1.
Portanto os coeficientes são a=5, b=1, c=-3.

Passo 9

Verificação rápida (sempre bom checar): calculo 5u+1v-3w:
5u=(5,10,5),\quad v=(1,1,2),\quad -3w=(-3,-6,-6).
Somando componente a componente:
(5,10,5)+(1,1,2)+(-3,-6,-6)=(5+1-3,\;10+1-6,\;5+2-6)=(3,5,1),
que é exatamente t. Perfeito — a solução confere.

Resposta

Os vetores u,v,w são linearmente independentes.
t = 5u + v - 3w.

Exercícios relacionados