Mostre que os vetores u=(1,2,1), v=(1,1,2), e w=(1,2,2) são linearmente independentes e escreva t=(3,5,1) como combinação linear de u, v e w.
Solução: Segue da Proposição 3.38 que os vetores u, v, w serão L.I se, e somente se, A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 2\end{array}\right) for inversível.
[Vamos lembrar o argumento:
\begin{gathered} u=(1,2,1), v=(1,1,2) \text { e } w=(1,2,2) \quad \text { são L.I. } \\\ \Leftrightarrow a u+b v+c w=0 \quad \text { só é possível com } a=b=c=0 \\\ \Leftrightarrow \quad a(1,2,1)+b(1,1,2)+c(1,2,2)=(0,0,0) \quad \text { só é possível com } a=b=c=0 \\\ \Leftrightarrow \quad\left\{\begin{array}{c} a+b+c=0 \\\\ 2 a+b+2 c=0 \\\ a+2 b+2 c=0 \end{array} \quad \text { tem solução única } a=b=c=0\right. \\\ \Leftrightarrow \quad\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right) \text { é inversível.] } \end{gathered}ãóéíóéíçãúéí
Vamos então mostrar que A é inversível, mostrando que A \sim I_{3} :
Então A \sim I_{3}, logo é inversível, e sua inversa é A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & -1 \\\\ 2 & -1 & 0 \\\\ -3 & 1 & 1\end{array}\right). Portanto u, v e w são L.I.
Para escrever t=(3,5,1) como combinação linear de u, v e w, queremos encontrar a, b, c \in \mathbb{R} tais que a u+b v+c w=t. Temos que
A matriz dos coeficientes do sistema linear matricial acima é a matriz A, cujas colunas são as coordenadas dos vetores u, v e w. Como mostramos acima, A é inversível. Logo o sistema linear matricial acima tem solução única dada por X=A^{-1} B.
[ Vamos lembrar o argumento: para A inversível,
O enunciado pede duas coisas: mostrar que os vetores u=(1,2,1), v=(1,1,2) e w=(1,2,2) são linearmente independentes; e escrever t=(3,5,1) como combinação linear de u, v e w.
Dados relevantes: os próprios vetores u=(1,2,1), v=(1,1,2), w=(1,2,2) e o vetor alvo t=(3,5,1).
Passo 2
O que significa “linearmente independentes”? Vou explicar com calma. Dizemos que três vetores u,v,w são linearmente independentes se a única solução do sistema
a\,u + b\,v + c\,w = (0,0,0)
for a=b=c=0. Escrever isso em coordenadas dá um sistema linear para a,b,c. Colocando as colunas como os vetores, obtemos a matriz dos coeficientes
cuja propriedade chave é: se \det(A)\neq 0 então A é inversível e, portanto, as colunas (os vetores u,v,w) são linearmente independentes. Vou usar essa ideia porque é rápida e direta.]
Passo 3
Vamos calcular o determinante de A. Uso a expansão por cofatores na primeira linha: