Mostre, via função geradora de momentos que a soma de n variáveis aleatórias independentes com distribuição Bernoulli(p)é,porsuavez,umavacomdistribuição Binomial(n, p)̧.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra mostrar que, se você somar variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição , o resultado tem distribuição . O conteúdo aqui é função geradora de momentos (MGF). Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Saber o que é MGF de uma variável : .
  2. A propriedade de independência que faz a MGF da soma ser o produto das MGFs individuais.
  3. A MGF da para comparar.
  4. Usar o teorema de unicidade da MGF (se as MGFs coincidem, as distribuições são as mesmas).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a MGF de uma variável MX(t);=;E[e^tX] ;=;(1-p),e^tcdot 0;+;p,e^tcdot 1 ;=;(1-p)+p,e^t . Por definição,
Isso faz sentido porque com probabilidade e com probabilidade .

Passo 3

Agora, deixa as Sn ;=; X1+X2+cdots+Xn, Bernoullis serem MSn(t) ;=; MX1(t),MX2(t)cdots MXn(t) ;=;l[(1-p)+p,e^tr]^n , todas independentes. Se definirmos
a propriedade de independência diz que

Passo 4

Só resta notar que a MGF de uma MY(t) ;=;l[(1-p)+p,e^tr]^n é exatamente
Sn;sim;Binomial(n,p)
Como para todo num intervalo em torno de zero e a MGF determina unicamente a distribuição, concluímos que

Resposta

A soma de variáveis independentes tem distribuição .

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