Mostre, via função geradora de momentos que a soma de
variáveis aleatórias independentes com distribuição
.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra mostrar que, se você somar
variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição
, o resultado tem distribuição
. O conteúdo aqui é função geradora de momentos (MGF). Para resolver, a gente vai precisar:
- Saber o que é MGF de uma variável
: . - A propriedade de independência que faz a MGF da soma ser o produto das MGFs individuais.
- A MGF da
para comparar. - Usar o teorema de unicidade da MGF (se as MGFs coincidem, as distribuições são as mesmas).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a MGF de uma variável
. Por definição,
Isso faz sentido porque
com probabilidade
e
com probabilidade
.
Passo 3
Agora, deixa as
Bernoullis serem
, todas independentes. Se definirmos
a propriedade de independência diz que
Passo 4
Só resta notar que a MGF de uma
é exatamente
Como
para todo
num intervalo em torno de zero e a MGF determina unicamente a distribuição, concluímos que
Resposta
A soma de
variáveis independentes
tem distribuição
.