Para os vetores abaixo, calcule a cdot b, a times b, a, b,|a times b|, e o ângulo theta entre a e b.
a=4 j, b=i-2 k

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial. Precisamos calcular o produto escalar a cdot b, o produto vetorial a times b, as magnitudes de a e b, o módulo do produto vetorial |a times b|, e o ângulo theta entre os vetores a e b. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar, produto vetorial, cálculo de magnitudes e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes dos vetores:
a = 4,j significa que a tem componente 0 em i, 4 em j e 0 em k.
b = i - 2,k significa que b tem componente 1 em i, 0 em j e -2 em k.

Passo 3

Para calcular o produto escalar a cdot b, usamos a fórmula:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Substituindo os valores:
(0)(1) + (4)(0) + (0)(-2) = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b. A fórmula do produto vetorial é:
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Substituindo os valores:
a times b = i & j & k 0 & 4 & 0 1 & 0 & -2 = i(4 cdot (-2) - 0 cdot 0) - j(0 cdot (-2) - 0 cdot 1) + k(0 cdot 0 - 4 cdot 1)
Simplificando:
a times b = i(-8) - j(0) + k(-4) = -8,i - 4,k

Passo 5

Vamos calcular as magnitudes de a e b. A magnitude de um vetor v = vx i + vy j + vz k é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para a:
|a| = raiz0^2 + 4^2 + 0^2 = raiz16 = 4
Para b:
|b| = raiz1^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz1 + 0 + 4 = raiz5

Passo 6

Agora, calculamos o módulo do produto vetorial |a times b|:
|a times b| = raiz(-8)^2 + 0^2 + (-4)^2 = raiz64 + 0 + 16 = raiz80 = 4raiz5

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta entre os vetores a e b, usamos a fórmula do produto escalar:
a cdot b = |a|,|b| cos theta
Já sabemos que a cdot b = 0, |a| = 4 e |b| = raiz5. Então:
0 = 4 cdot raiz5 cdot cos theta implies cos theta = 0 implies theta = 90^circ

Resposta

a cdot b = 0, a times b = -8,i - 4,k, |a| = 4, |b| = raiz5, |a times b| = 4raiz5 e o ângulo entre a e b é theta = 90^circ.

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