Para os vetores abaixo, calcule , e o ângulo entre e b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente precisa calcular várias coisas envolvendo dois vetores e : o produto escalar (), o produto vetorial (), as magnitudes de cada vetor ( e ), a magnitude do produto vetorial () e o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar as definições e fórmulas básicas de operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
No nosso caso, e . Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores é dado por:
Com a = 3 i - 2 j + 0 k e b = 0 i + 0 j + 4 k, temos:
a times b = i & j & k 3 & -2 & 0 0 & 0 & 4 = i((-2)(4) - (0)(0)) - j((3)(4) - (0)(0)) + k((3)(0) - (-2)(0))
= i(-8) - j(12) + k(0) = -8i - 12j
Passo 4
Vamos calcular agora as magnitudes dos vetores a e b. A magnitude de um vetor v = vx i + vy j + vz k é:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para a = 3 i - 2 j + 0 k:
|a| = raiz3^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz9 + 4 = raiz13
E para b = 0 i + 0 j + 4 k:
|b| = raiz0^2 + 0^2 + 4^2 = raiz16 = 4
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude do produto vetorial |a times b|. Sabemos que:
|a times b| = |a| cdot |b| cdot sintheta
Mas também podemos calcular diretamente a partir do vetor -8i - 12j: