Para os vetores abaixo, calcule a cdot b, a times b, a, b,|a times b|, e o ângulo theta entre a e b.
a=3 i-2 j, b=4 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente precisa calcular várias coisas envolvendo dois vetores a e b: o produto escalar ( a cdot b), o produto vetorial ( a times b), as magnitudes de cada vetor ( |a| e |b|), a magnitude do produto vetorial ( |a times b|) e o ângulo theta entre eles. Para isso, vamos usar as definições e fórmulas básicas de operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar a cdot b. O produto escalar de dois vetores a = ax i + ay j + az k e b = bx i + by j + bz k é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
No nosso caso, a = 3 i - 2 j + 0 k e b = 0 i + 0 j + 4 k. Então:
a cdot b = (3)(0) + (-2)(0) + (0)(4) = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b. O produto vetorial entre dois vetores é dado por:
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Com a = 3 i - 2 j + 0 k e b = 0 i + 0 j + 4 k, temos:
a times b = i & j & k 3 & -2 & 0 0 & 0 & 4 = i((-2)(4) - (0)(0)) - j((3)(4) - (0)(0)) + k((3)(0) - (-2)(0))
= i(-8) - j(12) + k(0) = -8i - 12j

Passo 4

Vamos calcular agora as magnitudes dos vetores a e b. A magnitude de um vetor v = vx i + vy j + vz k é:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para a = 3 i - 2 j + 0 k:
|a| = raiz3^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz9 + 4 = raiz13
E para b = 0 i + 0 j + 4 k:
|b| = raiz0^2 + 0^2 + 4^2 = raiz16 = 4

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude do produto vetorial |a times b|. Sabemos que:
|a times b| = |a| cdot |b| cdot sintheta
Mas também podemos calcular diretamente a partir do vetor -8i - 12j:
|a times b| = raiz(-8)^2 + (-12)^2 = raiz64 + 144 = raiz208 = 4raiz13

Passo 6

Por último, vamos achar o ângulo theta entre os vetores a e b. A relação entre o produto escalar e o ângulo é:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot costheta
Já vimos que a cdot b = 0. Então:
0 = raiz13 cdot 4 cdot costheta implies costheta = 0 implies theta = 90^circ
Isso significa que os vetores são perpendiculares.

Resposta

a cdot b = 0, a times b = -8i - 12j, |a| = raiz13, |b| = 4, |a times b| = 4raiz13, theta = 90^circ

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