Questão 2. Considere a equação diferencial linear de 1{ }^{\text {a }} ordem
y^{\prime}+3 y=e^{2 x}
A solução geral é:
(A) y=e^{-3 x}+e^{2 x}
(B) y=e^{-3 x}\left(C+\frac{e^{2 x}}{5}\right)
(C) y=e^{3 x}\left(C+e^{2 x}\right)
(D) y=C e^{3 x}+2 e^{2 x}
(E) y=C e^{-3 x}+3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'+3y=e^{2x}
e pede a solução geral, oferecendo as alternativas (A) a (E). Informações que temos:
  • A equação é de primeira ordem e está escrita na forma com y' e y.
  • Queremos a solução geral y(x) (ou seja, com constante arbitrária C).
  • As alternativas são:
    • (A) y=e^{-3x}+e^{2x}
    • (B) y=e^{-3x}\left(C+\frac{e^{2x}}{5}\right)
    • (C) y=e^{3x}\left(C+e^{2x}\right)
    • (D) y=C e^{3x}+2 e^{2x}
    • (E) y=C e^{-3x}+3 e^{2x}

Passo 2

Vamos escolher um método: a forma \,y'+3y=\text{(algo)}\, é exatamente o caso padrão de uma equação linear de primeira ordem. O método mais direto é usar um fator integrante (integrating factor). Ele é eficiente, rápido e padrão para esse tipo de equação — por isso escolho ele. (Se preferir, também daria para resolver por variação de parâmetro para a constante, mas o fator integrante é mais simples aqui.)

Passo 3

Coloco a equação na forma padrão
y'+p(x)\,y=q(x),
onde, no nosso caso, temos
p(x)=3,\qquad q(x)=e^{2x}.

Passo 4

O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Intuição rápida: multiplicando a equação por \mu(x) vamos obter no lado esquerdo a derivada do produto \mu(x)y(x).

Passo 5

Multiplico toda a equação por \mu(x)=e^{3x}:
e^{3x}y' + 3e^{3x}y = e^{3x}\cdot e^{2x}.
Usando a regra do produto, observo que
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big)=e^{3x}y' + 3e^{3x}y.
Logo a igualdade acima pode ser reescrita como
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big) = e^{3x}\cdot e^{2x}.

Passo 6

Calculo o lado direito simplificando as potências:
e^{3x}\cdot e^{2x}=e^{5x}.
Então a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big)=e^{5x}.

Passo 7

Integro ambos os lados em relação a x:
e^{3x}y=\int e^{5x}\,dx.
Para integrar \int e^{5x}\,dx uso a fórmula básica \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C. Assim,
\int e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}e^{5x}+C,
portanto
e^{3x}y=\frac{1}{5}e^{5x}+C.

Passo 8

Agora isolo y dividindo por e^{3x}:
y=e^{-3x}\left(\frac{1}{5}e^{5x}+C\right).
Faço a distribuição/arranjo para deixar em forma mais comum:
y = C e^{-3x} + \frac{1}{5}e^{2x}.
Ou, agrupando dentro do mesmo parêntese,
y=e^{-3x}\left(C+\frac{e^{2x}}{5}\right).

Passo 9

Comparo com as alternativas dadas: a expressão obtida
y=e^{-3x}\left(C+\frac{e^{2x}}{5}\right)
coincide exatamente com a alternativa (B). As outras alternativas não têm a mesma forma (por exemplo, apresentam e^{3x} em vez de e^{-3x} ou coeficientes diferentes para e^{2x}).

Passo 10

Verificação rápida (para confiança): diferencio a solução encontrada e substituo na equação original para checar que funciona.
  • Começo com y=C e^{-3x}+\frac{1}{5}e^{2x}.
  • Então y'=-3C e^{-3x} + \frac{2}{5}e^{2x}.
  • Calculo y'+3y: y'+3y = \big(-3C e^{-3x} + \tfrac{2}{5}e^{2x}\big) + 3\big(C e^{-3x} + \tfrac{1}{5}e^{2x}\big).Ao somar, os termos com C e^{-3x} se cancelam e os termos com e^{2x} somam \tfrac{2}{5}e^{2x}+\tfrac{3}{5}e^{2x}=e^{2x}. Logo y'+3y=e^{2x},que é exatamente a equação original. Verificação feita!

Resposta

(B) y=e^{-3x}\left(C+\frac{e^{2x}}{5}\right)

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