Questão 2. Considere a equação diferencial linear de
ordem
A solução geral é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral, oferecendo as alternativas (A) a (E). Informações que temos:
- A equação é de primeira ordem e está escrita na forma com
e . - Queremos a solução geral
(ou seja, com constante arbitrária ). - As alternativas são:
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
- (E)
- (A)
Passo 2
Vamos escolher um método: a forma
é exatamente o caso padrão de uma equação linear de primeira ordem. O método mais direto é usar um fator integrante (integrating factor). Ele é eficiente, rápido e padrão para esse tipo de equação — por isso escolho ele. (Se preferir, também daria para resolver por variação de parâmetro para a constante, mas o fator integrante é mais simples aqui.)
Passo 3
Coloco a equação na forma padrão
onde, no nosso caso, temos
Passo 4
O fator integrante
é definido por
Intuição rápida: multiplicando a equação por
vamos obter no lado esquerdo a derivada do produto
.
Passo 5
Multiplico toda a equação por
:
Usando a regra do produto, observo que
Logo a igualdade acima pode ser reescrita como
Passo 6
Calculo o lado direito simplificando as potências:
Então a equação fica
Passo 7
Integro ambos os lados em relação a
:
Para integrar
uso a fórmula básica
. Assim,
portanto
Passo 8
Agora isolo
dividindo por
:
Faço a distribuição/arranjo para deixar em forma mais comum:
Ou, agrupando dentro do mesmo parêntese,
Passo 9
Comparo com as alternativas dadas: a expressão obtida
coincide exatamente com a alternativa (B). As outras alternativas não têm a mesma forma (por exemplo, apresentam
em vez de
ou coeficientes diferentes para
).
Passo 10
Verificação rápida (para confiança): diferencio a solução encontrada e substituo na equação original para checar que funciona.
- Começo com
. - Então
- Calculo
: Ao somar, os termos com se cancelam e os termos com somam . Logo que é exatamente a equação original. Verificação feita!
Resposta
(B)