Mostre que
se, e somente se,
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um ponto $ a $ pertence ao conjunto derivado de $ X $ (denotado por $ X’ $) se, e somente se, $ a $ está na clausura de $ X $ sem o próprio $ a $ (ou seja, $ \overline{X - {a}} $). A matéria envolvida aqui é topologia, especificamente conceitos de pontos de acumulação e clausura de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos derivados, pontos de acumulação e a clausura de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ a \in X’ $. O conjunto derivado $ X’ $ é o conjunto de todos os pontos de acumulação de $ X $. Um ponto $ a $ é um ponto de acumulação de $ X $ se toda vizinhança de $ a $ contém pelo menos um ponto de $ X $ diferente de $ a $ mesmo.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é $ \overline{X - {a}} $. A clausura de um conjunto $ Y $, denotada por $ \overline{Y} $, é o menor conjunto fechado que contém $ Y $. Então, $ \overline{X - {a}} $ é a clausura de $ X $ sem o ponto $ a $. Isso significa que todos os pontos de acumulação de $ X - {a} $ estão em $ \overline{X - {a}} $.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que se $ a $ é um ponto de acumulação de $ X $ ($ a \in X’ $), então $ a $ está na clausura de $ X - {a} $ ($ a \in \overline{X - {a}} $). Como $ a $ é um ponto de acumulação de $ X $, toda vizinhança de $ a $ contém pontos de $ X $ diferentes de $ a $, ou seja, pontos de $ X - {a} $. Isso significa que $ a $ é um ponto de acumulação de $ X - {a} $, logo $ a $ pertence à clausura de $ X - {a} $.
Passo 5
Agora, vamos provar a outra direção: se $ a $ está na clausura de $ X - {a} $ ($ a \in \overline{X - {a}} $), então $ a $ é um ponto de acumulação de $ X $ ($ a \in X’ $). Estando $ a $ na clausura de $ X - {a} $, toda vizinhança de $ a $ contém pelo menos um ponto de $ X - {a} $. Isso significa que $ a $ tem pontos de $ X $ diferentes de si mesmo em cada vizinhança, caracterizando $ a $ como um ponto de acumulação de $ X $.
Resposta
Concluímos que $ a \in X’ $ se, e somente se, $ a \in \overline{X - {a}} $.