Mostre que
também é solução do sistema de equações diferenciais dado para quaisquer valores de
.
Passo 1
Temos um sistema linear homogêneo
e duas soluções conhecidas
e
. O objetivo é provar que a combinação linear
é também solução, usando que tanto a derivada quanto a multiplicação por matriz são lineares.
Passo 2
Usando a linearidade da derivada, calculamos
Isso vale porque derivada de soma e escalar pode entrar diretamente.
Passo 3
Como cada
satisfaz o sistema, temos
para
. Substituindo,
Pela linearidade da multiplicação por matriz,
Passo 4
Assim vimos que
satisfaz
logo, pela definição, é solução do sistema. Esse resultado é o princípio da superposição em sistemas lineares homogêneos.
Resposta
Para quaisquer constantes
, a função
satisfaz
e, portanto, é solução do sistema de equações diferenciais.