Mostre que x=c1 x^(1)+c2 x^(2) também é solução do sistema de equações diferenciais dado para quaisquer valores de c1 e c2.

Passo 1

Temos um sistema linear homogêneo
x'(t)=Ax(t)
e duas soluções conhecidas x^(1)(t) e x^(2)(t). O objetivo é provar que a combinação linear
x(t)=c1x^(1)(t)+c2x^(2)(t)
é também solução, usando que tanto a derivada quanto a multiplicação por matriz são lineares.

Passo 2

Usando a linearidade da derivada, calculamos
x'(t)=ddtl(c1x^(1)(t)+c2x^(2)(t)r) =c1(x^(1)(t))'+c2(x^(2)(t))'
Isso vale porque derivada de soma e escalar pode entrar diretamente.

Passo 3

Como cada x^(i)(t) satisfaz o sistema, temos
(x^(i)(t))'=Ax^(i)(t),
para i=1,2. Substituindo,
x'(t)=c1Ax^(1)(t)+c2Ax^(2)(t)
Pela linearidade da multiplicação por matriz,
x'(t)=Al(c1x^(1)(t)+c2x^(2)(t)r)=Ax(t)

Passo 4

Assim vimos que x(t) satisfaz
x'(t)=Ax(t)
logo, pela definição, é solução do sistema. Esse resultado é o princípio da superposição em sistemas lineares homogêneos.

Resposta

Para quaisquer constantes c1,c2, a função x(t)=c1x^(1)(t)+c2x^(2)(t) satisfaz x'=Ax e, portanto, é solução do sistema de equações diferenciais.

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