Identifique e esboce o gráfico do conjunto dos pontos
do
descrito por:
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o conjunto
e esboçar seu gráfico. O conteúdo aqui é geometria de superfícies em
, em particular um cilindro hiperbólico e sua interseção com um plano.
Passo 2
A equação
é independente de
. Isso significa que, no espaço
, temos um cilindro hiperbólico cujas “seções” para cada valor fixo de
são hipérboles no plano
.
Passo 3
A condição
é um plano paralelo ao plano
, deslocado na direção do eixo
.
Passo 4
A interseção do cilindro hiperbólico com o plano
é uma única curva, obtida impondo ambas as condições simultaneamente. No plano
as coordenadas satisfazem
Logo, a interseção é a hipérbole clássica no plano de coordenadas
.
Passo 5
Vamos caracterizar essa hipérbole no plano
:
- Centro em
. - Eixo transverso paralelo ao eixo
com semi-eixo . - Eixo conjugado paralelo ao eixo
com semi-eixo . - Vértices em
. - Assíntotas no próprio plano
dadas por passando por .
Passo 6
Para esboçar no plano
:
- Trace dois eixos: um horizontal para
e um vertical para , ambos deslocados de para . - Marque os vértices
e . - Desenhe as retas-assíntotas
e no mesmo plano. - Desenhe os dois ramos da hipérbole aproximando-se das assíntotas, um ramo abrindo para
e outro para .
Resposta
O conjunto é a hipérbole
no plano
, com vértices em
e assíntotas
.