Identifique e esboce o gráfico do conjunto dos pontos P(x, y, z) do R^3 descrito por:
x^2-z^2=1, y=1.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o conjunto
(x,y,z)in R^3mid x^2 - z^2 = 1,;y=1
e esboçar seu gráfico. O conteúdo aqui é geometria de superfícies em R^3, em particular um cilindro hiperbólico e sua interseção com um plano.

Passo 2

A equação
x^2 - z^2 = 1
é independente de y. Isso significa que, no espaço (x,y,z), temos um cilindro hiperbólico cujas “seções” para cada valor fixo de y são hipérboles no plano xz.

Passo 3

A condição
y = 1
é um plano paralelo ao plano xz, deslocado na direção do eixo y.

Passo 4

A interseção do cilindro hiperbólico com o plano y=1 é uma única curva, obtida impondo ambas as condições simultaneamente. No plano y=1 as coordenadas satisfazem
x^2 - z^2 = 1
Logo, a interseção é a hipérbole clássica no plano de coordenadas (x,z).

Passo 5

Vamos caracterizar essa hipérbole no plano y=1:
  • Centro em (0,1,0).
  • Eixo transverso paralelo ao eixo x com semi-eixo a = 1.
  • Eixo conjugado paralelo ao eixo z com semi-eixo b = 1.
  • Vértices em (pm1,1,0).
  • Assíntotas no próprio plano y=1 dadas por z = pm x, passando por (0,1,0).

Passo 6

Para esboçar no plano y=1:
  1. Trace dois eixos: um horizontal para x e um vertical para z, ambos deslocados de y=0 para y=1.
  2. Marque os vértices (1,1,0) e (-1,1,0).
  3. Desenhe as retas-assíntotas z = x e z = -x no mesmo plano.
  4. Desenhe os dois ramos da hipérbole aproximando-se das assíntotas, um ramo abrindo para x>1 e outro para x<-1.

Resposta

O conjunto é a hipérbole
x^2 - z^2 = 1
no plano y=1, com vértices em (pm1,1,0) e assíntotas z=pm x.

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