Sejam f: X R e a in X^prime. Se lim x a f(x)=L e lim x a f(x)=M, então L=M.

Passo 1

Nesse exercício queremos mostrar que o limite de uma função em um ponto, se existir, é único. O conteúdo é definição de limite em termos de varepsilon- de e vamos usar essa definição para provar que, se existissem dois limites diferentes L e M, chegaríamos a uma contradição.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que limxto af(x)=L e limxto af(x)=M com Lneq M. Pela definição de limite, para cada varepsilon>0 existem de0 e de0 tais que, sempre que 0 temos |f(x)-L| e sempre que 0 temos |f(x)-M|.

Passo 3

Escolha varepsilon=|L-M|2>0. Então existem de e de correspondentes. Defina de. Para qualquer x com 0 valem simultaneamente as duas desigualdades: |f(x)-L| e |f(x)-M|.

Passo 4

Usando a desigualdade triangular, obtemos
|L-M| = |L - f(x) + f(x) - M| <= |L - f(x)| + |f(x) - M| < varepsilon + varepsilon = 2varepsilon = |L-M|
Isso implica |L-M|<|L-M|, uma contradição. Portanto, nossa suposição Lneq M é falsa e concluímos que L=M.

Resposta

L = M

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