Sejam
e
. Se
e
, então
.
Passo 1
Nesse exercício queremos mostrar que o limite de uma função em um ponto, se existir, é único. O conteúdo é definição de limite em termos de
-
e vamos usar essa definição para provar que, se existissem dois limites diferentes
e
, chegaríamos a uma contradição.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
e
com
. Pela definição de limite, para cada
existem
e
tais que, sempre que
temos
e sempre que
temos
.
Passo 3
Escolha
. Então existem
e
correspondentes. Defina
. Para qualquer
com
valem simultaneamente as duas desigualdades:
e
.
Passo 4
Usando a desigualdade triangular, obtemos
Isso implica
, uma contradição. Portanto, nossa suposição
é falsa e concluímos que
.
Resposta
L = M