Suponha que é conhecido exprimentalmente que uma partícula cai uma dada distância y_{0} em um tempo t_{0}=\sqrt{2 y_{0} / g}, mas os tempos para cair outras distâncias y \neq y_{0} não é conhecido. Suponha que a Lagrangiana para o problema é conhecida, mas que ao invés de resolver a equação de movimento para y como função de t, supõe-se que a forma funcional é
y=a t+b t^{2}
Se as constantes a e b sao ajustadas sempre tal que o tempo para cair y_{0} é corretamente dado por t_{0}, mostre diretamente que a integral
\int_{0}^{t_{0}} L d t
é um extremo para valores reais dos coeficientes somente quando a=0 e b=g / 2.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
Informações dadas:
Existe uma partícula que cai uma distância \,y_{0}\, em um tempo conhecido experimentalmente \,t_{0}=\sqrt{2 y_{0}/g}\,.
A Lagrangiana do problema é conhecida (a interação é gravitacional uniforme) — não precisamos deduzir a partir de força, mas vamos usar a forma padrão para um corpo em queda vertical.
Em vez de resolver a equação de movimento, supõe-se uma forma aproximada para a trajetória:y = a t + b t^{2},em que a e b são constantes reais a ajustar.
As constantes a e b são sempre ajustadas de modo que a condiçãoy(t_{0})=y_{0}seja satisfeita (ou seja, a t_{0}+b t_{0}^{2}=y_{0}).
O que o problema pede:
Mostrar diretamente que a função dos coeficientes dada pela integral de ação\int_{0}^{t_{0}} L\,dté um extremo (variações nulas) com respeito a variações reais de a e b, sujeitas à condição acima, somente quandoa=0\quad\text{e}\quad b=\frac{g}{2}.
Passo 2
Plano de ataque e escolha do método (explicação curta e intuitiva):
Temos apenas dois parâmetros reais a,b que parametram trajetórias; queremos tornar a ação S(a,b)=\int_{0}^{t_{0}}L\,dt estacionária sob a restrição linear a t_{0}+b t_{0}^{2}=y_{0}.
Isso é um problema de otimização com restrição finita — a maneira direta e limpa é usar multiplicadores de Lagrange: extremizar S(a,b) sujeito à restrição.
Vou calcular S(a,b) explicitamente substituindo y(t)=a t + b t^{2} na Lagrangiana, integrar de 0 a t_{0}, e aplicar as condições de extremum com multiplicador. Tudo passo a passo, sem pular contas.
Passo 3
Escolha da Lagrangiana e expressão para \dot y:
Para uma partícula em queda livre em campo gravitacional uniforme, convém tomar a coordenada y positiva para baixo (isso simplifica sinais: a aceleração devida à gravidade é +g). Nesse caso o potencial gravitacional pode ser escolhido como -m g y (energia potencial diminui ao aumentar y), e a Lagrangiana éL = T - V = \frac{1}{2}m\dot y^{2} + m g y.Observação: essa escolha dá, pelas equações de Euler–Lagrange, \ddot y = g, que é a lei física correta para queda livre com y para baixo.
Substituímos a forma proposta \,y(t)=a t + b t^{2}\,. Então a velocidade é\dot y(t)=a+2 b t.
Passo 4
Montar a expressão explícita de L em termos de a,b,t e expandir:
Substituindo na Lagrangiana,L(t)=\frac{1}{2}m(a+2 b t)^{2} + m g (a t + b t^{2}).
Expandindo o quadrado:(a+2 b t)^{2}=a^{2}+4 a b t +4 b^{2}t^{2}.PortantoL(t)=\frac{1}{2}m a^{2} + \bigl(2 m a b + m g a\bigr)t + \bigl(2 m b^{2} + m g b\bigr)t^{2}.
Passo 5
Calcular a ação S(a,b)=\int_{0}^{t_{0}} L\,dt integrando termo a termo:
\displaystyle \int_{0}^{t_{0}} \bigl(2 m a b + m g a\bigr)t\,dt = \bigl(2 m a b + m g a\bigr)\frac{t_{0}^{2}}{2}.
\displaystyle \int_{0}^{t_{0}} \bigl(2 m b^{2} + m g b\bigr)t^{2}\,dt = \bigl(2 m b^{2} + m g b\bigr)\frac{t_{0}^{3}}{3}.
Somando,S(a,b)=\frac{1}{2}m a^{2} t_{0} + \bigl(2 m a b + m g a\bigr)\frac{t_{0}^{2}}{2} + \bigl(2 m b^{2} + m g b\bigr)\frac{t_{0}^{3}}{3}.
Para manipular de modo mais limpo, podemos factorizar m quando necessário, mas vou manter a forma para derivar claramente depois.
Passo 6
Calcular as derivadas parciais de S em relação a a e b:
Diferenciando S em relação a a (tratando b fixo):\frac{\partial S}{\partial a} = m\Bigl( a t_{0} + \frac{(2 b + g)t_{0}^{2}}{2}\Bigr) = m\bigl( a t_{0} + (b + \tfrac{g}{2})t_{0}^{2}\bigr).(Detalhe: a derivada de \tfrac{1}{2}m a^{2} t_{0} é m a t_{0}; a derivada da segunda parcela dá \tfrac{t_{0}^{2}}{2}(2 m b + m g)=m(b+g/2)t_{0}^{2}.)
Diferenciando S em relação a b:\frac{\partial S}{\partial b} = m\Bigl( a t_{0}^{2} + \frac{(4 b + g)t_{0}^{3}}{3}\Bigr).(Detalhe: da segunda parcela obtemos a t_{0}^{2}; da terceira, derivando 2 b^{2}+g b em b vem 4 b + g, multiplicado por m t_{0}^{3}/3.)
Passo 7
Impor a restrição e usar multiplicador de Lagrange:
A restrição é a condição que os coeficientes são ajustados para que y(t_{0})=y_{0}, isto éa t_{0} + b t_{0}^{2} = y_{0}.
Para extremizar S(a,b) sob essa restrição, introduzimos o multiplicador \lambda e exigimos\frac{\partial}{\partial a}\bigl(S + \lambda (a t_{0}+b t_{0}^{2}-y_{0})\bigr)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial b}\bigl(S + \lambda (a t_{0}+b t_{0}^{2}-y_{0})\bigr)=0,junto com a própria restrição.
Podemos simplificar dividindo a primeira por t_{0} e a segunda por t_{0}^{2} (assumindo t_{0}\neq 0, o que é verdade aqui):m\bigl( a + (b + \tfrac{g}{2})t_{0}\bigr) + \lambda = 0, \tag{1}
m\Bigl( a + \frac{(4 b + g)t_{0}}{3}\Bigr) + \lambda = 0. \tag{2}
Passo 8
Eliminar \lambda e resolver para b:
Subtraindo (1) de (2) para eliminar \lambda:m\Bigl(a + \frac{(4 b + g)t_{0}}{3}\Bigr) - m\bigl( a + (b + \tfrac{g}{2})t_{0}\bigr) = 0.Cancelando m e a:\frac{(4 b + g)t_{0}}{3} - (b + \tfrac{g}{2})t_{0} = 0.Dividindo por t_{0}\neq0:\frac{4 b + g}{3} - \Bigl(b + \frac{g}{2}\Bigr) = 0.
Resolver a equação:\frac{4 b + g}{3} = b + \frac{g}{2}.Multiplicando por 6 para evitar frações:2(4 b + g) = 6 b + 3 g.Assim8 b + 2 g = 6 b + 3 g \quad\Rightarrow\quad 2 b = \tfrac{1}{2} g \quad\Rightarrow\quad b=\frac{g}{2}.
Passo 9
Determinar a usando a restrição:
Agora usamos a restrição a t_{0} + b t_{0}^{2} = y_{0} com b=\tfrac{g}{2}:a t_{0} + \frac{g}{2}t_{0}^{2} = y_{0}.
Mas sabemos que t_{0}^{2}=\dfrac{2 y_{0}}{g} (dado no enunciado). Substituindo:\frac{g}{2}t_{0}^{2} = \frac{g}{2}\cdot\frac{2 y_{0}}{g} = y_{0}.Então a equação da restrição ficaa t_{0} + y_{0} = y_{0} \quad\Rightarrow\quad a t_{0}=0.Como t_{0}\neq 0, segue quea=0.
Passo 10
Interpretação e unicidade:
Achamos que a ação é estacionária (variação nula sob as variações dos coeficientes que preservam a condição) somente quandoa=0\quad\text{e}\quad b=\frac{g}{2}.
Essa solução corresponde exatamente à trajetória física de queda livrey(t)=\frac{g}{2}t^{2},que é a solução correta da equação de movimento com velocidade inicial nula (isto é, a=0). Portanto o resultado é consistente com a física: dentre as parábolas a t + b t^{2} que atingem y_{0} em t_{0}, aquela que torna a ação estacionária é a trajetória real.