Mostre que se X subseteq R contém uma de suas cotas superiores, então esta cota superior é o supremo de X.

Passo 1

O enunciado diz que XsubseteqR e que existe um elemento Min X tal que M é cota superior de X. O objetivo é mostrar que esse M é, de fato, o supremo de X. Vamos usar a definição de supremo como “menor de todas as cotas superiores”.

Passo 2

Por hipótese, Min X e M é cota superior de X. Isso significa, pela definição de cota superior, que
forall xin X:;x <= M

Passo 3

Para provar que M é o menor de todas as cotas superiores, seja U qualquer cota superior de X. Como Min X e U é cota superior, temos
M <= U
Isso mostra que qualquer outra cota superior U não pode ser menor que M.

Passo 4

Pelas definições, o supremo de X é exatamente a cota superior que é menor ou igual a todas as outras. Como já vimos que M é cota superior e satisfaz M<= U para toda cota superior U, concluímos que M é o supremo de X.

Resposta

O elemento Min X que é cota superior de X é também sup X.

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