Mostre que se
contém uma de suas cotas superiores, então esta cota superior é o supremo de
.
Passo 1
O enunciado diz que
e que existe um elemento
tal que
é cota superior de
. O objetivo é mostrar que esse
é, de fato, o supremo de
. Vamos usar a definição de supremo como “menor de todas as cotas superiores”.
Passo 2
Por hipótese,
e
é cota superior de
. Isso significa, pela definição de cota superior, que
Passo 3
Para provar que
é o menor de todas as cotas superiores, seja
qualquer cota superior de
. Como
e
é cota superior, temos
Isso mostra que qualquer outra cota superior
não pode ser menor que
.
Passo 4
Pelas definições, o supremo de
é exatamente a cota superior que é menor ou igual a todas as outras. Como já vimos que
é cota superior e satisfaz
para toda cota superior
, concluímos que
é o supremo de
.
Resposta
O elemento
que é cota superior de
é também
.