Seja X subseteq R um conjunto não-vazio. Mostre que se u=sup (X), então para todo n in N, o número u-1 / n não é uma cota superior para X, mas o número u+1 / n é uma cota superior para X.

Passo 1

O enunciado considera um conjunto não-vazio XsubseteqR e define u=sup(X). Precisamos mostrar duas coisas para cada ninN:
  1. u - tfrac1n não é cota superior de X.
  2. u + tfrac1n é cota superior de X.
Para isso vamos usar:
  • A definição de supremum como o menor de todos os limites superiores de X, equivalente à propriedade “para todo epsilon>0 existe xin X com u-epsilon<x”.
  • O fato de que u por si só já é cota superior, ou seja, x<= u para todo xin X.

Passo 2

Mostrando que u + tfrac1n é cota superior de X.
Como u=sup(X) vale que para todo xin X temos
x <= u
Mas então
x <= u < u + tfrac1n,
logo x <= u + tfrac1n para todo xin X. Isso prova que u + tfrac1n é uma cota superior de X.

Passo 3

Mostrando que u - tfrac1n não é cota superior de X.
Pela propriedade do supremum: para todo epsilon>0 existe algum xin X tal que
u - epsilon < x
Basta tomar epsilon = tfrac1n. Então existe xin X com
u - tfrac1n < x,
ou seja, esse x ultrapassa u-tfrac1n. Logo u-tfrac1n não consegue ser maior ou igual a todos os elementos de X, falhando como cota superior.

Resposta

Para todo ninN:
  • u - tfrac1n não é cota superior de X.
  • u + tfrac1n é cota superior de X.

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