Seja
um conjunto não-vazio. Mostre que se
, então para todo
, o número
não é uma cota superior para
, mas o número
é uma cota superior para
.
Passo 1
O enunciado considera um conjunto não-vazio
e define
. Precisamos mostrar duas coisas para cada
:
-
não é cota superior de . -
é cota superior de .
Para isso vamos usar:
- A definição de supremum como o menor de todos os limites superiores de
, equivalente à propriedade “para todo existe com ”. - O fato de que
por si só já é cota superior, ou seja, para todo .
Passo 2
Mostrando que
é cota superior de
.
Como vale que para todo
temos
Como
Mas então
logo
para todo
. Isso prova que
é uma cota superior de
.
Passo 3
Mostrando que
não é cota superior de
.
Pela propriedade do supremum: para todo existe algum
tal que
Pela propriedade do supremum: para todo
Basta tomar
. Então existe
com
ou seja, esse
ultrapassa
. Logo
não consegue ser maior ou igual a todos os elementos de
, falhando como cota superior.
Resposta
Para todo
:
-
não é cota superior de . -
é cota superior de .