Mostre que se a, b in R, então
min a, b=a+b2-|a-b|2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
Vamos usar a definição de valor absoluto
e a definição de mínimo: e .

Passo 2

Considere o caso a<= b.
Nesse caso mina,b=a e, como a-b<=0, temos
lvert a-brvert = -(a-b) = b-a
Substituindo na expressão proposta:
a+b2 - lvert a-brvert2 = a+b2 - b-a2 = a+b - (b-a)2 = 2a2 = a,
que coincide com mina,b quando a<= b.

Passo 3

Considere agora a> b.
Aqui mina,b=b e, como a-b>0, vale
lvert a-brvert = a-b
Na fórmula:
a+b2 - lvert a-brvert2 = a+b2 - a-b2 = a+b - (a-b)2 = 2b2 = b,
igual a mina,b quando a> b.

Passo 4

Em ambos os casos ( = a<= b ou a> b) a expressão
a+b2 - lvert a-brvert2
se reduz exatamente a mina,b. Logo, a identidade está demonstrada.

Resposta

mina,b = a+b2 - lvert a-brvert2

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