Verificar a regra da cadeia
d hd t=partial fpartial x cdot d xd t+partial fpartial y cdot d yd t
para as funções:
a) f(x, y)=ln (x^2+y^2)
x=2 t+1
y=4 t^2-5.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a regra da cadeia na derivada de
h(t) = fl(x(t),y(t)r)
onde
f(x,y)=lnl(x^2+y^2r), x(t)=2t+1, y(t)=4t^2-5
O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, que exige os parciais de f e as derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
Como f(x,y)=ln(x^2+y^2), temos
partial fpartial x =1x^2+y^2cdot 2x =2xx^2+y^2, partial fpartial y =1x^2+y^2cdot 2y =2yx^2+y^2

Passo 3

Calcular as derivadas de x(t) e y(t).
dxdt=ddt(2t+1)=2, dydt=ddt(4t^2-5)=8t

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia
dhdt =partial fpartial x,dxdt +partial fpartial y,dydt
Substituindo:
dhdt =2xx^2+y^2cdot 2 +2yx^2+y^2cdot 8t =4x+16tyx^2+y^2
Como x=2t+1 e y=4t^2-5, o numerador fica
4(2t+1)+16t(4t^2-5) =8t+4+64t^3-80t =64t^3-72t+4

Passo 5

Colocando tudo em função de t, obtemos
dhdt =64t^3-72t+4(2t+1)^2+(4t^2-5)^2

Resposta

dhdt =64t^3-72t+4(2t+1)^2+l(4t^2-5r)^2

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